高中数学人教a版选修4-1配套课件：2_2 圆内接四边形的性质与判定定理.ppt

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1、第2课时　圆内接四边形的性质与判定定理【课标要求】1．理解圆内接四边形的两条性质定理，能应用定理解决相关的几何问题．2．理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题．【核心扫描】1．用圆内接四边形的判定定理判断四点共圆．(重点)2．用圆内接四边形的性质定理解决相关问题．(难点)自学导引1．圆内接多边形(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．(2)同样，如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，则称该四边形为圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2

2、．圆内接四边形的两个性质定理(1)定理1：圆的内接四边形的．(2)定理2：圆内接四边形的外角等于．对角互补它的内角的对角3．圆内接四边形的判定定理(1)圆内接四边形的判定定理如果一个四边形的，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)圆内接四边形的判定定理的推论如果四边形的一个外角等于，那么这个四边形的四个顶点共圆．对角互补它的内角的对角(3)判断四点共圆的常用方法①如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆；②如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四

3、边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．试一试：判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．提示(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．名师点睛1．(1)要注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点．利用圆周

4、角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，从而得出圆内接四边形性质定理1，然后在性质定理1的基础上，推出了性质定理2.(2)圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新方法．2．掌握圆的内接四边形需注意的问题(1)在圆内接四边形的判定定理的证明中，利用了穷举法．所谓的“穷举法”就是当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情况分别论证，最后获证结论的方法．在每一种情形的证明中都用到了反证法，要注意这些方法的应用．(2)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合

5、形式表示：{圆内接四边形}⊆{圆内接多边形}．(3)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；圆内接梯形一定是等腰梯形等．(4)要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用．题型一　用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题【例1】在⊙O中，AC＝AB，E是弦BC延长线上的一点，AE交⊙O于点D.求证：AC2＝AD·AE.反思感悟要证明等积式，因比例式是等积式的一种特殊形式，故可转化为比例式．只需找到包含AC、AD、AE

6、的两个三角形来证明．而要证三角形相似，可借助圆内接四边形的性质，得出对应的角相等．【变式1】如图所示，AD是△ABC外角∠EAC的角平分线，AD与三角形的外接圆⊙O交于点D.求证：DB＝DC.证明∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，又∵∠EAD＝∠BCD，∠CAD＝∠CBD.∴∠DBC＝∠DCB.∴DC＝BD.题型二　利用圆内接四边形的性质定理求角【例2】如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于F、G.求证：∠CFG＝∠DGF.[思维启迪]已知四边形AB

7、CD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE＝∠BAD，又EG平分∠BEC，故△CFE∽△AGE.下面易证∠CFG＝∠DGF.证明因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ECF＝∠EAG.又因为EG平分∠BEC，即∠CEF＝∠AEG，所以△EFC∽△EGA.所以∠EFC＝∠EGA.而∠EGD＝180°－∠EGA，∠CFG＝180°－∠EFC，所以∠CFG＝∠DGF.反思感悟利用圆内接四边形的性质定理求角(1)观察图形，找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角；(2)利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所

8、要求的角．(3)当题目中出现圆内接四边形时，首先利用性质定理，再结合其他条件进行推理证明．【变式2】如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，且AC⊥BD.∠BAD＝72°，求四边形其余的各角．解∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.又∵∠BAD＝72°，∴∠BCD＝108°.又∵A