2.1 圆内接四边形的性质及判定定理 课件(人教a选修4-1)

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1、1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形．如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋＝180°，∠B＋＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的．对角互补∠C∠D内角的对角如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝.∠D2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的，那么这个四边形的四个顶点．对角互补对角共圆[例1]如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于F

2、、G.求证：∠CFG＝∠DGF.[思路点拨]已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE＝∠BAD，又EG平分∠BEC，故△CFE∽△AGE.[证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ECF＝∠EAG.又因为EG平分∠BEC，即∠CEF＝∠AEG，所以△EFC∽△EGA.所以∠EFC＝∠EGA.而∠DGF＝180°－∠EGA，∠CFG＝180°－∠EFC，所以∠CFG＝∠DGF.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量

3、关系．1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为4x、3x、5x，则由∠A＋∠C＝180°，可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°.∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.2．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.(1)求证：AB＝AC；(2)若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的长．[例2]如图，在△ABC

4、中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.求证：E、D、P、F四点共圆．[思路点拨]可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可．证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有

5、一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴G

6、F中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.[例3]如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥

7、CD，再考虑证角相等．[证明]如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥PA.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝

8、180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.6．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F是垂足．求证：E、B、C、F四点共圆．证明：如图，连接EF，