费马大定理的美妙证明教学提纲.doc

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1、费马大定理的美妙证明费马大定理的美妙证明成飞中国石油大学物理系摘要：1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”0、费马大定理：当n>3时，Xn+Yn=Zn，n次不定方程没有正整数解。1、当n=1，X+Y=Z，有任意Z≥2组合的正整数解。任意a.b.c；只要满足方程X+Y=Z；a,b.c由空间平面的线段表示，有a

2、bc可见，线段a和线段b之和，就是线段c。2、当n=2，X2+Y2=Z2，有正整数解，但不任意。对于这个二次不定方程来说，解X=a,Y=b,Z=c，在空间平面中，a,b,c不能构成两线段和等于另外线段。又因为，解要满足二次不定方程，解必然a+b>c且c>a,b。可以知道，二次不定方程的解，a,b,c在空间平面中或许可以构成三角形，CabBcA根据三角形余弦定理，有c2=a2+b2-2ab×cosɑ(0<ɑ<π)此时，a,b,c，即构成了三角形，又要满足二次不定方程X2+Y2=Z2，只有当且仅当ɑ=900，cosɑ=0,a,b,c构成直角三角形时c2=a2+b2，既然X=a,Y

3、=b,Z=c，那么二次不定方程X2+Y2=Z2有解。2、当n=3，X3+Y3=Z3，假设有正整数解。a,b,c就是三次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。此时，a,b,c也必构成三角形，CabBcA根据三角形余弦定理，有c2=a2+b2-2ab×cosɑ(0<ɑ<π)因为，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在[-1,1]内取值可以是无穷个分数。根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60º，180º），由此我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，½）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b，1、当

4、cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到，c2=a2+b2+mabm=［0,1）内正分数；等式两边同乘以c，有c3=a2c+b2c+mabc因为c>a，b，那么c3>a3+b32、当cosɑ=½，三角形余弦定理关系式得到，c2=a2+b2-ab等式两边同乘以a+b，有(a+b)c2=a3+b3又因为a+b>c，所以，c3a，b，即ɑ不可能等于600）那么，cosɑ=［0，½）时，更加满足c3

5、设不成立。即，n=3时，X3+Y3=Z3，三次不定方程没有正整数解。4、n>3,Xn+Yn=Zn，假设有正整数解。a,b,c就是n次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。此时，a,b,c构成三角形，根据三角形余弦定理有，c2=a2+b2-2ab×cosɑ(0<ɑ<π)因为，a,b,c是n次不定方程Xn+Yn=Zn的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在［-1,1］内取值可以是无穷个分数。根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60º，180º），我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，½）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b，1、当cos

6、ɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到，c2=a2+b2+mabm=［0,1）内分数；等式两边同乘以cn-2，有Cn=a2cn-2+b2cn-2+mabcn-2因为c>a，b，那么Cn>an+bn2、当cosɑ=0，三角形余弦定理关系式得到，c2=a2+b2等式两边同乘以cn-2，有cn-2c2=cn-2a2+cn-2b2又因为a+b>c，c>a，b所以，c3＞a3+b3那么，cosɑ=［0，½）时，更加满足c3＞a3+b3既然，a，b，c是n次不定方程Xn+Yn=Zn的解，又cn>an+bn，那么，Xn+Yn3时

7、，Xn+Yn=Zn，n次不定方程没有正整数解。根据分析，cn=a2cn-2+b2cn-2+abcn-2,c>a，b；可知，n越大，等式两边不对称也越大，其实当n>3时，Xn+Yn=Zn，n次不定方程的正整数解，a，b，c;a+b>c,且c>a，b,构成三角形可能性越小，或者说没有这样的正整数解可以构成三角形。费马大定理，证毕！