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1、第七章二阶电路LC电路中的正弦振荡BRLC串联电路的零输入响应BRLC串联电路的全响应BGCL并联电路的分析C计划学时：2学时1第七章二阶电路包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感的动态电路称为二阶电路。二阶电路可用一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程来描述。本章主要分析含一个电容和一个电感的二阶电路，这类电路的响应可能出现振荡的形式。2§7-1LC电路中的正弦振荡CU0-+(a)CU0+-(c)C(b)I1、LC电路中能量的振荡设：电容的初始电压为U0，电感的初始电流为零。(a)在初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没有储能，电路
2、的电流为零。由于U0的存在，电容通过电感放电，电路的电流开始增加，能量逐渐转移到电感的磁场中。(b)当电容电压下降到零的瞬间，电感电压为零，即di/dt=0，电路中的电流不在增加，达到最大值I，此时储能全部转入到电感。(c)由于电感电流不能跃变，此时电路的电流开始逐渐减小，电容在该电流的作用下又被充电，只是电压的极性不同。当电感电流下降到零的瞬间，能量又全部转入到电容之中。电容电压又达到U0，但极性与(a)相反。3CU0-+(e)C(d)I(d)当电容电压达到U0的瞬间，电容通过电感又开始放电，只是放电电流与上一次放电电流方向相反。随放电电流的
3、增加，能量逐渐又转移到电感的磁场中，电流又达到最大值。(e)当电感电流达到最大值的瞬间，电容在该电流的作用下又被充电，当电感电流下降到零的瞬间，能量又全部转入到电容之中，电容电压又达到U0，电路状态又和初始时刻相同，这意味着上述过程将不断地重复进行。4由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成振荡。这种电路中不含电阻由初始储能维持的振荡是一种等幅振荡。如果电路中含有电阻，在能量转移过程中要被电阻消耗，振荡将不可能是等幅的，幅度会逐渐衰减而趋于零。这种
4、振荡称为阻尼振荡。如果电路电阻较大，在能量初次转移过程中大部分能量就被电阻消耗，将不可能产生振荡。5２、LC电路中振荡的方式CUc-+iL右图中，L=1H、C=1F，uc(0)=1V、iL(0)=0。根据元件的VCR可得：上述两个联立的一阶微分方程表明：电压的存在要求有电流的变化，电流的存在要求有电压的变化。因此电压、电流都必须处于不断的变化状态之中。结合初始条件：uc(0)=1V、iL(0)=0。可以猜想到：6因为这两个式子显然符合初始条件，而且在t≥0时：上述两式表明：满足元件的VCR。因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。7
5、3、LC电路中的储能根据电容和电感的储能公式，可得LC回路的储能为：将u、i、L=1H、C=1F代入上式,可得在任何时刻储能均为常量,这就表明:储能不断地在电场和磁场之间往返,永不消失。8§7-2RLC串联电路的零输入响应右图中已知：Uc(0)=U0,i(0)=I0根据KVL及各元件的VCR可得9特征方程为：LCS2+RCS+1=0其中：特征根为：101、当称为过阻尼情况此时S1,S2为不相等的负实根。令：S1=-α1,S2=-α2利用初始条件：则：11代入即可求出Uc(t)和i(t)。12波形图如下图所示。画波形时设：Uc(0)=U0,i(0
6、)=0.说明：1）Uc(t)和i(t)都是随时间衰减的指数函数，是非振荡性的。2）由于有电阻R的存在且较大（），R耗能迅速，达到稳态时，Uc(t)=0,i(t)=0.Uc(t)i(t)tU(t)、i(t)132、当此时，S1,S2为两相等的负实根。S1=S2=-α故：代入初始条件：14说明：Uc(t)和i(t)的波形仍为非振荡情况153、此时，S1,S2为一对共轭复数，即其中：16或利用初始条件：可求出K1,K2,或K,φ从Uc(t)的表达式可以看出：Uc(t)的波形是衰减振荡，波形图如图7-6P253,i(t)和Uc(t)相似。17当R=0时
7、的特殊情况:利用初始条件可求出:从Uc(t)和i(t)的表达式可知,Uc(t)和i(t)都为等幅振荡响应.由于R=0,能量不能被消耗,只能反复由电场能转换为磁场能,再由磁场能转换为电场能,这种电路称为LC自由振荡电路。此时,181）列出微分方程及初始条件：2）求齐次解fh(t)特征方程为:as2+bs+c=0.特征根s1,s2的值不同,齐次解的形式也不同§7-3RLC串联电路的全响应CUC含源电阻网络LCL+-UL+-UR+-UOC(t)+-19例如：3)求特解：fp(t)特解的形式fp(t)=US4)求通解：f(t)=fh(t)+fp(t)f
8、h(t)的形式为:(不相等实根）fh(t)的形式为：s1=s2（相等实根）fh(t)的形式为:20§7-4GLC并联电路的分析设含电容和电感的二阶电路
