高等数学重点课件.ppt

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1、一、极限的四则运算法则则定理1.5若(1)(2)若B≠0,则有(3)若则有注运算法则,有相应的结论.及x→∞时函数极限的四则例如,对于数列极限,对于数列极限有以下结论:数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1.5直接得出.(极限运算的线性性质)若以上运算法则对有限个函数成立.推论和μ是常数，则于是有——幂的极限等于极限的幂结论：为非负常数)对于式中自变量的最高次幂（抓大头）,然后再求极限.的极限，可以先给分子、分母同除以分内容小结1.极限的运算法则(1)极限的四则运算法则(2)复合函数的极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入

2、法(分母不为0)时,对型,约去零因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法：设中间变量，变量代换.或先有理化后约分1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系4.无穷小与无穷大的关系3.无穷小的比较及无穷大的比较～～～～常用等价无穷小:5.等价无穷小替换定理内容小结～2.单侧连续左连续；右连续.定理2.间断点的分类间断点振荡同时存在可去跳跃无穷其他类第一至少有一个不存在第二类根据：注1°初等函数仅在其定义区间上连续,在其定义域内不一定连续;如：即函数在定义域内在点x=0的去心邻域(邻域半径小于1)内没有定义,定义域内的点全部是孤立点，因此它

3、在x=0处不连续，从而在其定义域内不连续.因此在每个点都不连续.每个点的去心邻域(邻域半径小于2)内均无定义,1°若区间是开区间,定理不一定成立;2°若区间内有间断点,定理不一定成立.注f(x)在[0,2]上无最大值和最小值推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.2°一般地，如：注意此记号的含义四、导数基本公式、初等函数的导数1.常数和基本初等函数的导数公式3.函数的和、差、积、商的求导法则(C为常数)2.双曲函数及反双曲函数的导数公式4.反函数的求导法则内容小结直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除,乘方,开方表示

4、的函数由参数方程所确定的函数求导法用极坐标方程给出的函数求导转化1.隐函数求导法则由此结果可得下列重要结论:(1)若μ为自然数n,则2.归纳法:n阶导数的一般表达式.逐阶求出若干阶导数后,再归纳出例2解(3)若μ=－1,则由上式易得(其中a为常数)(2)只要自然数m>n,就有3.利用已知高阶导数法常用高阶导数公式：5.由参数方程所确定的函数求高阶导数举例若参数方程二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得中?已知注意:三、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)——莱布尼茨(Leibniz)公式及设函数用数学归纳法可证莱布尼茨公式成立.

5、事实上,内容小结1.逐阶求导法2.利用归纳法3.间接法—利用已知的高阶导数公式4.利用莱布尼兹公式高阶导数的求法：如,5.求由参数方程确定的函数的高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式.直接法1.基本初等函数的微分公式(见p.118表)二、微分的基本公式及运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)2.函数的和、差、积、商的微分法则二、罗尔(Rolle)中值定理满足：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)，使得在(a,b)内至少存在一点定理3.1（Rolle中值定理）若三、拉格朗日(Lagrange)中

6、值定理定理3.2（拉格朗日中值定理）(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；使得在(a,b)内至少存在一点满足：若定理3.3（柯西中值定理）至少存在一点使得(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)在开区间(a,b)内四、柯西(Cauchy)中值定理及满足:若内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理费马引理第二节洛必达法则三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第三章型未定式极限的洛比达法则存在(或为)定理3.4设(洛必达法则)一、1°洛必达法则(证明略)适合于任一自变量极限过

7、程，如：，或的情形，满足相应于定理3.4的条件只要函数注即可.型未定式极限的洛比达法则存在(或为)定理3.5设(洛必达法则)二、三、其他未定式的极限关键:将其他类型未定式转化为洛必达法则可以解决的类型：有5种：洛必达法则.对于其他未定式，不能直接使用.解决方法:1.弧的微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心内容小结3.常见的选u=(x)规律(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)……常见的选u=(x)规律(续)常见的选u=(x)规律(续)常见的选u=(x)规律(续)(k为常数)三、基本积分表（Ⅰ）（或（或3.基本积分公式的补充内容小结求

8、不定积分的