高等数学 第二章 极限和导数2-9导数的概念课件.ppt

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1、第九节第二章一、实例分析二、导数的概念四、导数的几何意义五、可导与连续的关系三、利用定义求导数举例导数的概念一、实例分析1.变速直线运动中某时刻的瞬时速度问题设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.曲线的切线问题曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的概念1.定义2

2、.1设函数y=f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若(1)存在,则称函数在点x0处可导,并称此极限值为y=f(x)在点x0处的导数，记作也可记作:注1°若极限(1)不存在，此时，导数不存在；曲线上对应点有垂直于x轴的切线.则称f(x)在点x0处不可导.特别地，在点x0处的导数为无穷大.2°导数的其它形式3°运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的此外在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等，从数学角度看就是导数.切线斜率例1(1)解(2)解2.单侧导数在点的某个右邻域内有定义,(左)设函数若极限则称此极限为存在,在点x0处的右导数.(左)3.可导的充

3、要条件定理证因为∴定理成立.解例24.区间上可导若函数f(x)在开区间I内每点都可导,则称函数f(x)在I内可导.此时，对于任一xI,都对应着f(x)的一个确定的导数值，所构成的新函数称为导函数.记作若f(x)在开区间(a,b)内可导，且及都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导.注一般地，如：xyO三、利用定义求导数举例(C为常数)的导数.解即例3求函数步骤:例4求函数解注一般地，对幂函数(为常数)（以后将证明）例如，例5求函数的导数.解则即类似可证得解则∵当h0时,例6例7求函数的导数.解即四、可导与连续的关系定理证设在点x0处可导,即其中从而故可导连续例9解x

4、yO注1°问：对于例9下面推导是否正确？为什么？答：不正确.错误原因：2°讨论分段函数在分段点的可导之步骤：(1)先查分段点处的连续性.若不连续，必不可导.若在分段点处连续，则需从导数定义出发，讨论分段点处的可导性.例10解例11解内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量之比的极限;切线的斜率;？思考题1.解()下述方法是否正确？反例见例2:()答：不一定.反例见例2.2.3.函数f(x)在某点x0处的导数f(x)区别:是函数,是数

5、值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数若时,恒有问是否在点处可导?解由题设由夹逼准则故在点处可导,且4.备用题例1-1解解因为设存在,且求所以例1-2例1-3解例8-1问曲线上哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解令得对应平行.即其方程分别为例9-1解不存在例9-2解铅直渐近线例9-3解解例9-4解例10-1分段点的导数用定义求例10-2设,问a取何值时,处处存在,并求出解故时从而在都存在,该函数在及都可导，在x=0处，在处连续,且存在，证明:在处可导.证因为存在，故有又在处连续,所以即在处可导.例11-1即