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1、第二章导数与极限§2.1导数的概念§2.2极限§2.3函数的连续性§2.4导数的计算§2.5高阶导数§2.1导数的概念1问题的引出2导数的定义3由定义求导数4导数的几何意义和物理意义一、问题的提出----瞬时速度问题设作直线运动的质点，它的路程规律是s=s(t)，求它在任意时刻t0的速度v(t0).0S时间:路程:第一步第二步在这段时间间隔内的平均速度最后切线问题播放切线问题割线的极限位置——切线位置如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即二、
2、导数的定义定义其它形式即★思考三、由定义求导数步骤:例1例２四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义切线方程为法线方程为2.物理意义在均匀情况下，凡是用除法定义的物理概念，在不均匀情况下，绝大多数是导数．均匀不均匀速度加速度电流强度线密度角速度★关于导数的说明：五 小结1.导数的实质:增量比的极限;2.导数的几何意义:切线的斜率;3.求导数最基本的方法:由定义求导数.§2.2极限1数列极限的定义2函数极限的定义§2.2.1数列的极限1数列的定义2数列极限的定义3数列极限的性质一尺之棰，日取其半，万
3、世不竭一根一尺长的木棒，每天拿去剩下的一半，却永远拿不完。一、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数★有界性例如,有界无界★单调性单调增加单调减少单调数列二、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于其本身.小结:用定义
4、证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3证例4证三、数列极限的性质四则运算法则★子数列注意：例如，定理1以下三个命题等价有一子列发散的数列必发散或两个子列都收敛但收敛于不同值的数列也发散，例定理2收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例§2.2.2函数极限的定义1自变量趋于有限值时函数的极限2自变量趋于无穷大时函数的极限1自变量趋向于有限值时函数的极限xyo问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.记作几何解释:注意：单侧极限
5、:例如,左极限右极限例2自变量趋向于无穷大时函数的极限另两种情形:几何解释:例函数极限的统一定义小结过程时刻从此时刻以后§2.2.3函数极限的性质1唯一性2局部有界性3局部保序性4局部保号性2.有界性1.唯一性一函数极限的性质注意：①这是极限存在的一个必要不充分条件。②可得又一个判断极限不存在的方法：函数在某点的去心邻域内无界，则在这点的极限必不存在。3.不等式性质定理7(保序性)定理（比较区别）推论1(保号性)推论2§2.2.4无穷小与无穷大1无穷小的定义与性质2无穷大的定义与性质3无穷小与无穷
6、大的关系1、定义:极限为零的变量称为无穷小.二无穷小与无穷大注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是唯一可以作为无穷小的常数.性质：无穷小与函数极限的关系意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);定义绝对值无限增大的变量称为无穷大.2无穷大若，则称函数f(x)为时的无穷大。特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.定理9在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无
7、穷大.3无穷小与无穷大的关系意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.性质:(1)若在x的某一变化过程中，f(x)是无穷大，g(x)是有界量，则f(x)+g(x)是无穷大。(2)若在x的某一变化过程中，f(x)是无穷大，g(x)满足
8、g(x)
9、≥M(M>0),则f(x)g(x)是无穷大。§2.2.5极限的运算法则A无穷小的运算法则B极限的运算法则C复合函数求极限的换元法D夹逼准则A、无穷小的运算性质:定理10在同一过程中,有限个无穷小的和仍是无穷小.定理11有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
10、推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理12B极限的运算法则推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2小结:解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例解例(消去零因子法)例解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？极限不存在在某个过程中，若f(x)极限不存在，g(x
