模糊数学在数学建模中的应用课件.ppt

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1、模糊数学在数学建模中的应用主要内容１、模糊聚类分析；２、模糊模式识别；３、模糊综合评判。例:环保部门对某地区五个环境区域U={u1,u2,u3,u4,u5},按污染情况进行分类,并予以奖励或处罚。设每个区域包含空气、水分、土壤、作物四个要素,环境区域的污染情况由污染物在四个要素中的含量来衡量。设这五个环境区域的污染数据如下:u1=(80,9,6,2),u2=(50,1,6,4),u3=(90,6,4,5),u4=(40,5,7,3),u5=(10,1,2,4)试对U进行分类。(１)、模糊数学的基本思想；(２

2、)、普通关系与布尔矩阵；(３)、模糊关系与模糊矩阵；(４)、模糊聚类分析原理。１、模糊聚类分析模糊数学的基本思想集合：是指具有某种特定属性的对象集体。例1：“延大09级的学生”；模糊集合：例2：“延大09级个子高的学生”。区别:是否满足排中率。定义:设A为论域Ｕ上的一个集合，则uＵ，uA或者uA，二者必居且仅居其一。这种关系可用如下二值函数表示：称A(u)为集合A的特征函数。例3：设经典集合与特征函数定义:设Ｕ为论域，则称由如下实值函数μA：Ｕ[0，1]，uμA(u)所确定的集合A为Ｕ上的模糊集

3、合。注：称μA为模糊集合A的隶属函数，μA(u)称为元素u对于A的隶属度。模糊集合与隶属函数若记P(U)和F(U)分别为U上的所有经典集合和所有模糊集合的全体，则P(U)F(U)通常称P(U)为U的幂集，而称F(U)为U的模糊幂集。由于模糊集合A只能由其隶属函数A来表达，故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替A(u),即A(u)≌A(u)这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加区分。Zadeh表示法(1)若论域U为有限集，即U={u1,u2,…,un}，则AF(U)可表示为模糊集合的表示方法例4：

4、设U={u1,u2,u3,u4,u5}，(2)若论域U为无限集，则AF(U)可表示为例5：以年龄作为论域，取U=[0，200]，Zadeh给出“年轻”这个模糊集合Y的隶属函数为向量表示法当论域U={u1,u2,…,un}时，AF(U)也可用如下向量来表示：A=(A(u1)，A(u2)，…，A(un))例6：设U={u1,u2,u3,u4,u5}，模糊集合A也可表示为A=(0.87，0.75，0.96，0.78，0.56)例7:环保部门对某地区五个环境区域U={u1,u2,u3,u4,u5},按污染情况进

5、行分类,并予以奖励或处罚。设每个区域包含空气、水分、土壤、作物四个要素,环境区域的污染情况由污染物在四个要素中的含量来衡量。设这五个环境区域的污染数据如下:u1=(80,9,6,2),u2=(50,1,6,4),u3=(90,6,4,5),u4=(40,5,7,3),u5=(10,1,2,4)试对U进行分类。定义:设U,V为两个论域,若R∈P(U×V),则称R为U到V的一个普通关系。注意：若此时U=V,则称R为U上的普通关系。(２)、普通关系与布尔矩阵例8：设Ｕ={u1,u2,u3},V={v1,v2},则

6、U×V={(u1,v1),(u1,v2),(u2,v1),(u2,v2),(u3,v1),(u3,v2)}为全称关系；Ø为零关系；R={(u1,v1),(u2,v2)}为U到V的一个普通关系。用矩阵表示如下：U=V的情形例9：设Ｕ={u1,u2,u3},V=Ｕ,则R={(u1,u1),(u2,u2),(u2,u3)为U上的一个普通关系。用矩阵表示如下：注:对应的矩阵为方阵。定义：设U={u1,u2,…,um},V={v1,v2,…,vn},R∈P(U×V),令这里i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,则R

7、=(rij)m×n为一个m×n的布尔矩阵。这说明:有限论域间的普通关系可由Boole矩阵来表示。等价关系定义：设U为论域,R为U上的一个普通关系。若(1)任意u∈Ｕ，(u,u)∈R；(自反性)(2)若(u,v)∈Ｒ,则(v,u)∈Ｒ；(对称性)(3)若(u,v)∈Ｒ,(v,w)∈Ｒ,则(u,w)∈Ｒ;(传递性)则称R为U上的等价关系。特殊的等价关系例10：设Ｕ={u1,u2,u3},则U×U={(u1,u1),(u1,u2),(u1,u3),(u2,u1),(u2,u2),(u2,u3),(u3,u1),

8、(u3,u2),(u3,u3)}全称关系;I={(u1,u1),(u2,u2),(u3,u3)}恒等关系。用方阵表示如下：一般等价关系例11：设Ｕ={u1,u2,u3,u4,u5},则R={(u1,u1),(u2,u2),(u3,u3),(u4,u4),(u5,u5),(u1,u5),(u5,u1),(u2,u3),(u3,u2),(u3,u4),(u4,u3),(u2,u4),(u4,u2)}是等价关系。对应方