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1、动态问题的押轴题解析汇编二动态问题1.(2011山东聊城24,12分)(本题共12分)如图,在矩形ABCD中,AB12cm,BC8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与G点重合)时,三个点随之停止移动,设移动开始第t秒时,EFG的面积为S(cm2)。(1)当t1时,S的值是多少?(2)写出S和t之间的函数关系式,并指出自变量t的取值范围。(3)若点F在矩形的边BC上移动时,当t为何值时,以
2、点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似?请说明理由。ADGBCF25题图【解题思路】(1)根据移动时间和移动速度,可以求得BE、BF、FC和CG的长度,计算出梯形EBCG和三角形BEF、三角形FCG的面积,从而求出EFG的面积为S(cm2)的值。(2)由题意知移动时间t的取值范围是0<t≤4,①当0<t≤2时,图形如上图,此时可以用含有t的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度,进而表示EFG的面积S;②当2<t≤4时,图形如下,此时可以用含有t的代数式表示出FG的长度,从而表示出出E
3、FG的面积为S的值。ADGEFBC(3)用含有t的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度,由于两三角形对应关系的不确定,需要分来两种情况进行讨论。【答案】解:(1)t1时,AE2,BF4,CG2。则BE12210,CF844.∴梯形EBCG的面积为11(BECG)BC(102)848,2211BEF的面积为BE•BF10420,2211CFG的面积为CF•CG244,22∴S4820424.(2)①当点F在BC时,此时0<t≤2.AE2t,BF4t,
4、CG2t。则BE122t,CF84t.∴梯形EBCG的面积为11(BECG)BC(122t2t)848,2211BEF的面积为BE•BF(122t)4t4t224t,2211CFG的面积为CF•CG(84t)•2t4t28t,22∴S48(4t224t)(4t28t)4t232t48。即S4t232t48(0≤t≤2)。②当点F在CD时,此时2<t≤4。CG2t,CF4t8,∴FGCGCF2t(4t8)82t。11
5、EFG的面积为FG•BC(82t)88t32。22即S8t32(2<t≤4)。(3)点F在矩形的边BC上移动时,此时0≤t≤2。EBBF,即122t4t2①若。解得t。FCCG84t2t3又22t满足0≤t≤2,所以当t时,EBF∽FCG;33②若EBBF,即122t4t。解得3t。GCCF2t84t2又33t满足0≤t≤2,所以当t时,EBF∽GCF;22综上可知,当23t或t时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、32C、G为顶点的三角形相似。【点评】
6、本题是当前的热点问题,动态几何探究综合题,需要综合运用相似等知识以及分类讨论的数学思想,意在考查学生逻辑推理能力、探究发现能力、灵活利用数学知识解决问题的能力。2.(2011年四川省南充市21题8分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。(1)求证:⊿MDC是等边三角形;(2)将⊿MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在,请说明理由;如果
7、存在,请计算出⊿AEF周长的最小值。C'ADFD'EBMC【解题思路】此题边长给出较多,因而可从边长入手;由图形中的特殊的边角关系,利用全等变换,等量代换寻求周长的最小值。【答案】证明:过点D作DP⊥BC于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,∵∠C=∠B=60°C′AFD∴CP=BQ=1AB,CP+BQ=AB2D′又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,BC=2AD,由EBQMPC已知,点M是BC的中点,BM=CM=AD=AB=CD,即△MDC中,CM=CD,∠C=60°,故△MDC是等边三角形.(2)解:△AEF的周长存在
8、最小值,理由如下:连结AM,由(1)平行四边形ABMD是菱形,△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°∴∠BME=∠AMF在△BME与△AMF中,BM=AM,∠EBM=∠FAM=60°∴△BME≌△AMF(ASA)∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB∵∠EMF=∠DMC=60