教案-平面向量的数乘运算演示教学.doc

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1、教案-平面向量的数乘运算精品文档【教学过程】*揭示课题7.2.3平面向量的数乘运算*情境导入有一同学从O点出发，向东行进，1秒后到达A点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图7－15可以看出，向量与向量a共线，并且＝3a．aaaaOABC图7−15*引入新知一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为（7．3）若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．当λ＝0时，a=0。实数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有（7．4）容易验证，对于任意向量a,b及任意实数

2、，向量数乘运算满足如下的法则：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．*例题讲解例1在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，＝a，＝b，试用a,b表示向量、．图7－16例2计算：（1）（-3）×4a（2）5（a+b）-2（a-b）（3）（a+4b-3c）-（2a-3b-5c）*练习强化1．计算：（1）3（a−2b）－2（2a＋b）；

3、（2）3a−2（3a−4b）＋3（a−b）．2．设a,b不共线，求作有向线段，使＝（a＋b）．*揭示课题7.4.1平面向量的内积*情境导入收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档Fs图7—21O如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100m．那么，这个人做了多少功？我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则i+yj，即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即

4、W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）*引入新知BAO图7－23ab力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a,b，作＝a,＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作．我们规定，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b＝｜a

5、

6、b

7、cos　　　　　　　(7.10)上面的问题中，人所做的功

8、可以记作W＝F·s.由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当＝0时，a·b＝

9、a

10、

11、b

12、；当＝时，a·b＝−

13、a

14、

15、b

16、.（2）cos＝.（3）当b＝a时，有＝0，所以a·a＝

17、a

18、

19、a

20、＝

21、a

22、2，即

23、a

24、＝.（4）当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有a·b＝0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1）a·b＝b·a．（2）()·b＝(a·b)＝a·(b)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（a·b

25、）·c.*例题讲解例1已知

26、a

27、＝3,

28、b

29、＝2,＝,求a·b．例2已知

30、a

31、＝

32、b

33、＝,a·b＝,求．*练习强化1.已知

34、a

35、＝7，

36、b

37、＝4，a和b的夹角为，求a·b．2.已知a·a＝9,求

38、a

39、．3.已知

40、a

41、＝2,

42、b

43、＝3,＝，求(2a＋b)·b．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档*归纳小结向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？结论：向量的数乘运算得到的是平行向量，向量的模为向量的内积运算得到的是数量，a·b＝｜a

44、

45、b

46、cos收集于网络，如有侵权请联系管理员删除