高考数学专题复习练习第3讲 函数的奇偶性与周期性.docx

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1、第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于(  ).A.3B.1C.-1D.-3解析 由f(-0)=-f(0),即f(0)=0.则b=-1,f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数,f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为(  ).A.-1B.0C.1D.2解析 (构造法)构造函数f(x)=sinx,则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x),所以f(x)=sinx是一

2、个满足条件的函数,所以f(6)=sin3π=0,故选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,5]时,f(x)=2-

3、x-4

4、,则下列不等式一定成立的是(  ).A.f>fB.f(sin1)f(sin2)解析 当x∈[-1,1]时,x+4∈[3,5],由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-

5、x+4-4

6、=2-

7、x

8、,显然当x∈[-1,0]时,f(x)为增函数;当x∈[0,1]时,f(x)为减函数,cos=-,sin=>,又f=f>f,所以f>f

9、.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是(  ).A.偶函数,且单调递增B.偶函数,且单调递减C.奇函数,且单调递增D.奇函数,且单调递减解析 当x>0时,f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时,f(0)=0,故f(x)为奇函数,且f(x)=1-2-x在[0,+∞)上为增函数,f(x)=2x-1在(-∞,0)上为增函数,又x≥0时1-2-x≥0,x<0时2x-1<0,故f(x)为R上的增函数.答案 C5.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,当x∈[0

10、,1)时,f(x)=4x-1,则f(-5.5)的值为(  )A.2B.-1C.-D.1解析f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 D6.设函数D(x)=则下列结论错误的是(  ).A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析 显然D(x)不单调,且D(x)的值域为{0,1},因此选项A、D正确.若x是无理数,-x,x+1是无理数;若x是有理数,-x,x+1也是有理数.∴D(-x)=D(x),D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数,D(x)

11、为周期函数,B正确,C错误.答案 C二、填空题7.若函数f(x)=x2-

12、x+a

13、为偶函数,则实数a=________.解析 由题意知,函数f(x)=x2-

14、x+a

15、为偶函数,则f(1)=f(-1),∴1-

16、1+a

17、=1-

18、-1+a

19、,∴a=0.答案 08.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.解析 因为y=f(x)+x2是奇函数,且x=1时,y=2,所以当x=-1时,y=-2,即f(-1)+(-1)2=-2,得f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1

20、.答案 -19.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为________.解析 由原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).答案 (-2,0)∪(2,5)10.设f(x)是偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(2x)=f的所有x之和为________.解析∵f(x)是偶函数,f(

21、2x)=f,∴f(

22、2x

23、)=f,又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数,∴

24、2x

25、=,即2x=或2x=-,整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0,设方程2x2+7x-1=0的两根为x1,x2,方程2x2+9x+1=0的两根为x3,x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.答案-8三、解答题11.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)因为对定义域内任意x,y,f(x)满

26、足f(xy)=yf(x)+xf(y),所以令x=y=1,得f(1)=0,令x=y=-1,得f(-1)=0.(2)令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1),代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x),所以f(x)是(-∞,+∞

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