2019-2020年高考数学专题复习 第6讲 函数的奇偶性与周期性练习 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学专题复习第6讲函数的奇偶性与周期性练习新人教A版[考情展望]　1.考查函数奇偶性的判断.2.利用函数的奇偶性、周期性求函数值.3.与函数的对称性相结合，综合考查知识的灵活应用能力．一、奇(偶)函数的定义及图象特征1．奇、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)；(2)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．2．奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．1．奇、偶函数对称区间上的单调性奇函数在关于原点对称的两个

2、区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．2．奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.二、周期性1．周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0；②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；(3)若f

3、(x＋a)＝－，则T＝2a.(4)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(5)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2

4、a－b

5、.1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)A．－　　　B.　　　C.　　　D．－【解析】　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝，则a＋b＝.【答案】　B2．下列函数为偶函数的是(　　)A

6、．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝ln【解析】　由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．【答案】　D3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　)A．－1B．0C．1D．2【解析】　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(8)＝f(0)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(8)＝f(0)＝0，故选B.【答案】　B4．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.【解析】　因为y＝(x＋1)

7、(x－a)＝x2＋(1－a)x－a由题意可知1－a＝0，即a＝1.【答案】　15．(xx·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)A．2B．1C．0D．－2【解析】　利用奇函数的性质f(－x)＝－f(x)求解．当x＞0时，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.【答案】　D6．(xx·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg

8、x

9、【解析

10、】　A项，y＝是奇函数，故不正确；B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg

11、x

12、在(0，＋∞)上是增函数，故选C.【答案】　C考向一[016]　函数奇偶性的判断　判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝.【思路点拨】　先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉，分段函数要分情况判断．【尝试解答】　(1)由得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f(x)为非奇

13、非偶函数．(2)由得，定义域为(－1,0)∪(0,1)．∴x－2＜0，∴

14、x－2

15、－2＝－x，∴f(x)＝.又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为：(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．规律方法1　1.本例第(1)题，若盲目化简：

16、f(x)＝＝将扩大函数的定义域，作出错误判断.第(2)题易忽视定义域无从入手.2.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断.考向二[017]　函数奇偶性的应用　(1)设函数f(x)