高考数学专题复习教案： 抛物线的几何性质备考策略.doc

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1、抛物线的几何性质备考策略主标题：抛物线的几何性质备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.关键词：抛物线的几何性质，知识总结备考策略难度：4重要程度：5内容：1．抛物线的焦半径抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．有以下结论(p>0)：(1)对于抛物线y2＝2px，

2、PF

3、＝＋x0；(2)对于抛物线y2＝－2px，

4、PF

5、＝－x0；(3)对于抛物线x2＝2py，

6、PF

7、＝＋y0；(4)对于抛物线x2＝－2py，

8、PF

9、＝－y0.2．与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)(1)y1y2＝－p2，x1

10、x2＝.(2)

11、AB

12、＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．(3)＋为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．思维规律解题：考点一：已知抛物线方程应用例1．(2014·安徽高考)抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1　　　　　　　　　B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2解析：选A　抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.应用一：到焦点与定点距离之和最小问题例2．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使

13、PF

14、＋

15、PA

16、的值最小．解：∵(－2)2

17、<8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.由抛物线的定义可知

18、PF

19、＋

20、PA

21、＝

22、PQ

23、＋

24、PA

25、≥

26、AQ

27、≥

28、AB

29、，当且仅当P，Q，A三点共线时，

30、PF

31、＋

32、PA

33、取得最小值，即为

34、AB

35、.∵A(－2,4)，∴不妨设

36、PF

37、＋

38、PA

39、的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝.故使

40、PF

41、＋

42、PA

43、的值最小的抛物线上的点P的坐标为.应用二：到点与准线的距离之和最小问题例3．(2015·忻州联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x

44、2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．答案：－1解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此

45、PQ

46、＋

47、PF

48、≥

49、PC

50、＋

51、PF

52、－1≥

53、CF

54、－1＝－1.答案：－1应用三：到定直线的距离最小问题例4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．答案：解析：法一：如图，设与直线4x＋3y－

55、8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.法二：对y＝－x2，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′

56、x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8

57、＝0距离的最小值是.应用四：焦点弦中距离之和最小问题例5．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则

58、AC

59、＋

60、BD

61、的最小值为________．答案：2解析：由题意知F(1,0)，

62、AC

63、＋

64、BD

65、＝

66、AF

67、＋

68、FB

69、－2＝

70、AB

71、－2，即

72、AC

73、＋

74、BD

75、取得最小值时当且仅当

76、AB

77、取得最小值．依抛物线定义知当

78、AB

79、为通径，即

80、AB

81、＝2p＝4时，为最小值，所以

82、AC

83、＋

84、BD

85、的最小值为2.备考策略：1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开

86、口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．