中考数学专题复习练习：切线长定理.doc

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1、例如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C．图中互相垂直的线段有（只要写出三对线段）．说明：目的是对切线长定理的基本图形的研究．答案：OA⊥AP、OB⊥BP、AB⊥PE例如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O内切Rt△ABC的三边AB、BC、CA于D、E、F，半径r=2．求△ABC的周长．解：设AF=x，∵⊙O内切Rt△ABC，∴AC=x+2，AB=x+3．由勾股定理，得：，解方程，得x=10．则Rt△ABC的周长c=AB+BC+CA=13+5+12

2、=30．说明：利用代数方法解决几何问题，培养学生的综合应用知识能力．例（上海市，2001）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC．证明：（1）过D作DF⊥AC，F为垂足．∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB=DF．∴点D到AC的距离等于圆D的半径，∴AC是⊙D的切线．（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等BD，∴AB是⊙D的切线．∴AB=AF．∵在Rt△BED和Rt△F

3、CD中，ED=CD，BD=FD，∴Rt△BED≌Rt△FCD，∴BE=FC，∴AB+BE=AF+FC=AC．说明：（1）此题为中档题目，切线长定理的应用；（2）有圆的两切线时，常有以下几种引辅助线的方法：①连结圆和两条切线的公共点；②连结两个切点；③连过切点的半径．例已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过D作⊙O的切线DE，交BC于E，求证：BE=CE．分析：由AB为直径知BD⊥AC，故要证BE=CE，要需证DE为斜边中线即可．证明：连结BD∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥A

4、C，∴∠2+∠3=∠1+∠C=90°，∵BC⊥AB，AB为⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线∵DE为⊙O的切线，∴DE=BE∴∠1=∠2∴∠3=∠C，∴DE=CE∴BE=CE．说明：（同上）此题为连两切点．典型例题五例已知：如图，是⊙的直线，一条直线与⊙交于、两点，过点、分别作直线的垂线，垂足是、，交⊙于（1）证明：；（2）设，，，证明：、是方程的两个实根；（3）若（2）中的方程满足，判断直线与⊙的位置关系.证明（1）过点作，垂足为，由垂径定理，得.又又是的中点，即，又是⊙的直径，又四边形是圆内接四边形，，∽

5、.即（2）连结，则四边形是矩形，，.又四边形是矩形，，，.又，∽，有，、是方程的两实根.（3）若（2）中的方程满足，则方程有两个相等的实根.即，又，、重合说明直线和⊙有一个公共点，与⊙相切说明：本题是一道综合性很强的题目，又涉及到代数中的一元二次方程，而且一题多问，一环扣一环.请同学们在解题时一定要理清思想.不妨把本题所涉及到的知识点进行归纳、总结，提高综合利用能力.典型例题六例如图，切⊙O于，⊙O的半径是，求的长.解连结OA、OB.∵切⊙O于，∴又是等边三角形.∵OP平分，∴OP是AB的垂直平分线，垂足

6、是C.在Rt中，.∴由勾股定理，得在Rt中，说明：本题考查切线长定理的运用，解题关键是连过切点的半径，易错点是计算失误.典型例题七例如图，已知：⊙O与的三边AB、AC、BC分别相切于E、F、D.若，求：AF、CF、BD的长.解设∵AB、AC、BC分别与⊙O相切于E、F、D，∴∴由（1）＋（2）＋3（3），得（4）（4）－（1）得（4）－（2）得（4）－（3）得∴说明：本题考查切线长定理的应用，解题关键是根据切线长定理列出方程组，易错点是解方程组出错或列不出方程组.典型例题八例（青岛市，2000）已知：如图

7、，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连结CD.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过D点作于E，交A与C的连线于P.求证：P点平分线段DE.证明（1）连结OD.∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，是⊙O的切线.（2）过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于F，则.在中，即∵是⊙的切线，∴在中，是⊙O的切线，∴∴∴P点平分线段DE.说明：本题主要考查切线长定理的应用，解题关键是作辅助线，易错点是忽视平行线分线段成比例定理的应用而使思路受阻.典型例题九例如图，已知直角梯形ABCD

8、中，，以AB为直径的⊙O与CD相切于P，若求证：（1）的长是方程的二根；（2）证明（1）连∵AB是直径，∴∽的长是的二根.（2）连结OP，则，又为AB的中点，∴OP是梯形的中位线.∴方程有两个相等的实数根.说明：本题考查切线的性质与一元二次方程根的综合运用.解题关键是作出正确的辅助线.选择题1.，是⊙的切线，切点是，，则（）A．不一定垂直B．不一定平分C．一定垂直平分D．以上结论都不对2.从圆外一点向半径为的圆上引两条切线，其