中考数学专题复习练习：勾股定理.doc

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1、例01．如图，已知：在中，，，.求：BC的长.分析：由条件，想到制造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解答：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.说明：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线以便应用勾股定理.例02．已知：在中，，，，，，.求AC与AB.分析：在中，已知BC长和，求其他两边，可先求出AB的长，进而使用勾股定理求出AC的长.解答：在中，∵（已知），∴（中，如

2、果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）根据勾股定理：.∴中，.说明：在直角三角形中，求边长的时候，经常会涉及到勾股定理，而勾股定理是已知两边求第三边，因此，在条件不足时，可以根据已知去发现和创造条件.例03．作长为的线段.分析：根据勾股定理.即斜边长为4，一条直角边为3的直角三角形的另一条直角边就是.作法：1．作长为3的直角边AC，过C作，2．以A为圆心，4为半径画弧交CD于B.连结AB，则BC即为所求.如图.证明：在中，根据勾股定理：，∴.说明：也可按书中作法，由两条直角边都为1的直角三角形先作出，然后依次作出，2，，，最后作出.但这样较繁.可以先作出与相近且能一步作

3、出的线段.如先作，再作，，也可先作，再作.例04．如图，已知：，，，.求：BC的长.分析：因为是等腰直角三角形，，根据勾股定理知，即，所以只需求AB的长.AB的长可在中求出.在直角三角形ABD中，，所以.那么可根据勾股定理，求出AB的长.解答：∵，（已知），∴.（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理：在中，∴.在中，，，根据勾股定理，在中，，即.∴.说明：本题中，有两次出现勾股定理，重要的是分清直角三角形，逐步求出欲求线段的长度.例05．如图，已知：，，于P.求证：.分析：图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，

4、我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.证明：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.例06．如图，，，，垂足为A，，求AB的长.分析：由于AB是中的一条直角边，故要求AB的长，只要求出BD，AD的长，利用勾股定理即可求出.解答：∵，∴，又∵，垂足为A，∴，∴，∴，∴，在直角三角形BAD中，，∴，∴答：AB的长为.说明：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，因此只要知道直角三角形的两边长即可求出第三边的长.例0

5、7．已知：（如图）中，，D为BC上任意一点.求证：分析：在证明线段的平方和、差等问题时，首先考虑的是勾股定理，但这个问题中并没有直接三角形，因为结论中有、，所以考虑到应将AB、AD放在直角三角形中，作为斜边出现较好，于是过A作BC的垂线AE与BC交于E点，再用勾股定理予以证明即可.证明：过A作，与BC交于E点由勾股定理有：在中，由勾股定理有∴∵∴∴例08．已知：（如图）在中，，D、E分别为BC、AC的中点，，.求AB的长.分析：先求BC、AC，再由勾股定理求AB.解答：设∵AD、BE是中线（已知）∴即∵∴∴在直角三角形中，∴∴例09．已知：（如图）在中，，，.求AC的长.解答：过A

6、作于E，则∴∴又∵∴∵∴例10．已知：CD为的斜边上的高，且，，，（如图）求证：分析：要证这个代数等式，可从左边证到右边.证明：左边∵在直角三角形中，又∵即∴右边即证明出：例11．如图，中，，，，求：（1）的周长；（2）的面积.分析：从题中条件无法直接求出的周长，可过A点作，构造直角三角形，考虑到本题所给的角度的特殊性，三角形的周长比较容易求出，由于的面积是，从而也不难求出.解答：（1）作，垂足为D，则，为直角三角形，∵，，∴，，，在直角三角形BAD中，∵，∵，，在直角三角形ADC中∵，∴为等腰直角三角形，∴∴的周长（2）答：的周长为，面积为.典型例题分析例1已知：如图，在△ABC

7、中，∠ACB＝，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.分析：本题考查勾股定理的应用，先勾股定理求AC，再运用三角形面积公式得到，于是不难求CD.解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有ABCD∴∠2＝∠C又∴∴CD的长是2.4cm说明：本题的解题关键是先用勾股定理求AC，再用“面积法”求CD例2　如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝，D是BC上任一点，求证：分析：从结论考虑，应将AD放到直角三角形中去，为此考虑过A作垂线段或过