多项式的代数定义与分析定义.doc

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1、3.3多项式的代数定义与分析定义多项式是大家所熟悉的内容，我们前面多次叙述有关内容，但是要对多项式进行严格论述，并不是件容易的事，实际上我们还没有给出多项式的严格定义.下面我们就给出它的严格定义.3.3.1多项式的代数定义一般地说，x2+y2这个式子的意义是什么，通常中学生把符号x和y理解为代表数，比如可以把它理解为实数域上有次序的实数x与y的函数，这是一种多项式的“函数”观点，但是在代数学里，这样理解多项式是不恰当的.因为在代数学中有有限域，例如有只含2个元素域的Z2；对于Z2上的多项式x2+x,从函数论的观点出发，就有对于代数分式

2、多项式，如果从函数论的观点出发是两个不同的函数，因为它们的定义域不相同；但从代数观点出发基于上述理由，我们从代数观点出发，给出多项式的严格定义.定义3.11设环R是环S的子环，S中的元素b称为环R上的代数元，如果R上存在不全为0的元素，使得如果b不是R上的代数元，则称b为R上的超越元.简单地说，元素b是R上的代数元的充分必要条件是：b是R上的一个多项式的根；b是R上的超越元的充分必要条件是：b不是R上任意多项式的根.例如是有理数环（域）上的代数元，因为是x2-2=0的根，而就是有理数环上的超越元.因为不是任何有理系数多项式的根.定义3

3、.12设给定一环R，环R上的一个超越元（未定元）x的多项式环R[x]是指具有下面性质的环：（1）R[x]是含有R为子环的环，即；（2）含有x,即；（3）是既含有x,又含有R的最小环；环中的元素称为R上超越元x的多项式.R上n个超越元上的多项式环是指定理3.9如果环R含有单位1，则多项式环R[x]是由形如的元素所组成（即通常理解的多项式环），而且每一个这种元素的表示方法是惟一的.证明由R[x]的定义：（1）R[x]是一个环，（2）.所以一切形如的元素均属于R，[x]即反之，一切形如的元素之间加、减、乘运算，所得结果仍然是上述形式的元素.

4、所以所有形如上述的元素构成一个环，而且R属于这个环.x也属于这个环（），所以一切形如的元素构成一个包含x和R的最小环，即为R[x].最后，若R[x]中元素a有两种表示法：则由于x是超越元，所以.即a表示惟一.注意这里要求R含有1.否则上述定理不成立，因为当R是偶数环时，R不含有1，则一切形如（ai∈R为偶数集合）的元素就不构成R[x],因为x不属上述形式的元素.对于一个多项式，当然要区分它是哪个环上的多项式，或者哪个域的多项式.另外，环上的多项式和域上的多项式有很大区别.如果f(x)是域F上的多项式，∈F，是f(x)的根，即f()=0

5、，则x-

6、f(x)因为在域上多项式可作除法，得商和余式：所以r=0,即如果f(x)是n次多项式，则g(x)是n-1次多项式，所以有如下定理.定理3.10若f(x)是域F上的n次多项式，则f(x)在域F中最多有n个根.由于若∈F，是f(x)的根，则g(x)是n-1次多项式，可归纳证出f(x)最多有n个根在F中.刚才我们说过环上的多项式与域上的多项式有本质区别，域上的多项式环是因式分解惟一环，(x-α)是素元素；而环上的多项式环就不一定是因式分解惟一环，两个多项式相除也不一定必有商式和余式，例如这两个整系数多项式在Z[x]中相除就不能得商

7、式和余式.所以环上的n次多项式不一定有n个根（可能在环上没有根，也可能有无穷多个根）.例如，在剩余类环Z8上，多项式又如在二阶方阵环中，x2=0有无穷多根.其中0=形如=的二阶方阵都是x2=0的根，这里α为任意实数.3.3.2多项式的分析定义现在再回到多项式函数论观点上来.我们知道，从函数论观点出发，两个多项式相等的充分必要条件是：它们在定义域上所有点的函数值都相等；而从代数观点出发，两个多项式相等的充分必要条件是它们相应的系数都相等（ai=bi），这样，两个多项式是否相等就有两个定义.什么时候它们能一致呢？对此我们有以下定理.定理3

8、.11如果域上含有无限多个不同的元素，则F[x]上两个多项式f(x)与g(x)相等，从代数观点和函数论观点出发是一致的.证明设若从代数观点出发f(x)=g(x),则它们相应系数有以下关系：显然它们在任意点的函数值也相同，即从函数论观点出发f(x)=g(x).反之，若从函数论观点出发f(x)=g(x)，则这时域F中所有元素都是f(x)-g(x)的根.但是f(x)-g(x)是一个次数不超过n的多项式，在F中至多有n个根，而前述f(x)-g(x)有无限多个根，这个矛盾说明必有，即从代数观点有f(x)=g(x).例如果域F只含有p个元素，求证

9、从函数论的观点出发，域F上的不同多项式只有有限个.证域F上的任意一个多项式都是F上的函数，如果我们能证明F上的不同函数最多有有限个，那么本题即证明.设f(x)是域F上的函数，.这时有p种选择，也有p种选择，…也有p种选择