多项式的定义和运算

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1、代数是搞清楚世界上数量关系的工具。――怀特黑德当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。--柯普宁(前苏联哲学家)第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算2.2多项式的整除性2.3多项式的最大公因式2.4多项式的分解2.5重因式2.6多项式函数多项式的根2.7复数和实数域上多项式2.8有理数域上多项式2.9多元多项式2.10对称多项式2.1一元多项式的定义和运算一、教学内容2.1.1多项式的定义2.1.2多项式相等2.1.3多项式的次数2.1.4多项式的运算二、教学目的掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性

2、质。三、重点、难点一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。2.1.1多项式的定义定义1数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式其中n是非负整数而都是数环R中的数。在多项式中，叫做零次项或常数项叫做一次项次项，叫做叫做次项系数一元多项式常用符号来表示。例如：都是x的多项式。规定：①若是某个i次项的系数是1，那么这个1可以省略不写；问：下列各式是不是x的多项式？2.1.2多项式相等定义2若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么f(x)和g(x)就说是相等。记为f(x)=g(x)。例如：②在一

3、个多项式中，可以任意添上或去掉一些系数为零的项。规定：一个数环R上系数不全为零的多项式可以唯一地写成于是，我们可以对多项式引入次数的概念。2.1.3多项式的次数的次数，叫做多项式定义3的最高次项,非负整数n叫做多项式记作系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。零多项式没有次数。以后谈到多项式的次数时，总假定我们在初等代数中曾经学习过多项式的加法、减法及乘法。两个多项式相加（或相减）就是把它们的同次项的系数相加（或相减）。两个多项式相乘就是把第一个多项式的各个单项与第二个多项式的各个单项分别相乘，然后合并同次项。2.1.4多项式的运算一、多项式的加法给定数环R上

4、两个多项式并且设m≤n,f(x)与g(x)的和指的是这里当m

5、是那么由上面定理的证明得证明若是中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得或推论1推论2证明由得但所以由推论1必有即当是什么数时，多项式（1）是零多项式？（2）是零次多项式？例2解整理得例3求k,t使解将左端两多项式相乘，原式可化为由两个多项式相等的定义可得解得2.1.5多项式环我们用R[x]表示数环R上一个文字x的多项式的全体。并且把在其中如上定义了加法和乘法运算的R[x]叫作数环R上的一元多项式环。练习作业：P30:1、2