资源描述：
《21一元多项式定义和运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章多项式§2.1一元多项式的定义和运算1．设和是实数域上的多项式．证明：若是(6)，那么2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和3．证明：§2.2多项式的整除性1．求被除所得的商式和余式：(i)(ii)2．证明：必要且只要3．令都是数域F上的多项式，其中且证明：4．实数满足什么条件时多项式能够整除多项式5．设F是一个数域，证明：整除6．考虑有理数域上多项式这里和都是非负整数．证明：7．证明：整除必要且只要整除§2.3多项式的最大公因式1.计算以下各组多项式的最大公因式：(i)(ii)2.设证明：若且和不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式．3.令与是的多项式，而
2、是中的数，并且证明：4．证明：（i）是和的最大公因式；（ii）此处等都是的多项式。5．设都是有理数域Q上的多项式。求使得6．设令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有7．设证明：8．证明：对于任意正整数都有9．证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。10．决定，使与的最大公因式是一次的。11．证明：如果那么对于任意正整数，12．设是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式：且；如果∈F[x]且，那么证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍
3、式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。设都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明13．设并且证明：14．设证明：互素的充要条件是存在多项式使得15．设令比照定理1.4.2，证明：有最大公因式．[提示：如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式．]§2.4多项式的分解1.在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：2.分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.3.证明：当且仅当4.求在内的典型分解式；求在内的典型分解式5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分
4、且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数使得6．设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约.§2.5重因式1.证明下列关于多项式的导数的公式：1.设是的导数的重因式.证明：未必是的重因式；是的重因式的充分且必要条件是3.证明有理系数多项式没有重因式.4.应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？5.证明：数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是，这里的是F中的数§2.6多项式函数多项式的根1．设,求.2．数环R的一个数说是的一个重根,如果可以被整除,但不能被整除.判断5是不是多项式的根.如果是的话,是几重根?3．设求[提示:应用综
5、合除法．]4．将下列多项式表成的多项式.;.5．求一个次数小于4的多项式,使6．求一个2次多项式,使它在处与函数有相同的值.7．令是两个多项式,并且可以被整除.证明8．令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令证明:在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式,使得中每一多项式都可以写成的形式,这里.在中不可约.如果,求上述的[提示:取是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]9．设中多项式且,是一个大于1的整数.证明:的根只能是零或单位根.[提示:如果是的根,那么都是的根.]§2.7 复数和实数域上多项式1．设次多项式的根是.求以为根的多项式,这里是一个数;以(假定都不等于
6、零)为根的多项式.2．设是一个多项式,用表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:若是g,那么;若是是和的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式).3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.4．在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积.5．证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.§2.8有理数域上多项式1．证明以下多项式在有理数域上不可约:;;.2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是是个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数.3．设是一个整系数多项式.证明:若是和都是奇数,那么不能有整数根.4．求以下多项
7、式的有理根:;;.§2.9多元多项式1．写出一个数域F上三元三次多项式的一般形式.2．设是一个次齐次多项式.是任意数.证明.3．设是数域F上一个元齐次多项式,证明:如果,则也是元齐次多项式.4．把多项式写成两个多项式的乘积.5．设F是一个数域.是F上元多项式.如果存在使得,那么就说是的一个因式.或者说整除.证明,每一多项式都可以被零次多项式和整除,.说是不可约的,如果除了中那两种类型的因式外,没有其它的因式.证明,在里,多项式都不可约.举一反例证明,当时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.说
