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1、1.交错代数的定义定义1.1([6])设是域,称为上的向量空间,如果满足下列条件:⑴在中定义一个加法,对任意,,;⑵有一个标量与向量的乘法,即任意,任意,有;⑶向量的加法和标量与向量的乘法满足下列运算律:①;②;③中存在一个零向量,记作,对任意,有;④任意,存在,使得,则称为的负元;⑤;⑥;⑦;⑧;这里,,是中的任意向量,,,是域中的任意元素.定义1.2([4])设是上的向量空间,“·”是上的一个二元运算,称“·”是双线性的,如果对任意,任意,,,有⑴，;⑵.定义1.3([4])设是一个向量空间,“·”是上的一个双线性运算,且对任
2、意,,有:⑴;⑵;则称是一个交错代数.下面所提到的交错代数,如无说明,都是域上的交错代数.定义1.4([6])设是域上的向量空间,是的一个子集.如果对于中的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的,则称是的一个子空间.定义1.5设是一个交错代数,是的一个子集,若是的一个子空间,且在运算“·”下封闭,则称是的一个子代数.定义1.6设是一个交错代数,是的一个子代数,若对任意,任意,有,,则称是的一个理想.定理1.7设是一个交错代数,是的子集族,⑴若是的子代数,则也是的子代数;⑵若是的理想,则也是的理想;⑶若,都是的理想,则也是的理想.证明
3、:⑴对于任意,任意,,则对于任意,有,,由于为子空间,则有,,所以,,从而是上的向量空间;任意,,则对于任意,有,,又为子代数,则有,所以，因此是上的子代数.⑵由⑴可知,是上的子代数;任意,,则对于任意,有,又因为为理想,故有,,所以,,因此是上的理想.⑶①任意,任意,,其中,,,,因为和是理想,则,,,因此是上的子代数;②任意,任意,其中,,则,,由①②可知,是上的理想.#
