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1、本文发表于教育部主管，中国教育学会主办的《中小学数学》高中版2014年第6期关注解题教学中“数学问题”的表征浙江省上虞市春晖中学林国夫（邮编：312353）所谓表征，即指两个世界的特征或元素之间的一种对应，即用一种形式（物理或心理的）将另一种事、物、想法或知识重新表现出来，其本质即为指代对象的一个替代（如符号或符号集）.数学表征是主体在理解某个数学结构时将该结构与一个更易理解的数学结构之间建立一个对应的心理过程.在数学的学习过程中，数学表征是无处不在的，例如在学习新的数学知识时，主体往往对知识信息进行合理加工编码形成其独特的内部心理符号；在解决数学问题时，根据问题信息及
2、自身的知识结构将问题用一种适合自身理解的方式表现出来以便寻找恰当的解决问题的方式等等，这些常见的数学过程本质即为数学表征.问题是数学的心脏，数学教育常通过数学问题的解决来推动学生数学认知的发展.而研究表明，正确的数学问题的表征是解决数学问题的必要前提，在错误的或者不完整的表征下形成的问题空间中进行搜索，不可能求得问题的正确解.因此问题表征能力和问题表征质量是影响数学问题解决的重要因素.在教学中，尤其在例题或解题教学中，教师应该关注学生的“数学问题”的表征能力.1数学问题的表征及其方式数学问题的表征是指根据数学问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己
3、的问题空间的过程，也即将外部的物理刺激转变为内部心理符号的过程.其既可以理解为一种过程，也可理解为一种结果，前者即为对问题的理解和内化，后者即为问题在头脑中的呈现方式.数学问题的表征方式根据不同的研究需要可以进行不同的分类，例如根据数学思维的载体可分为具体化表征（即数学问题用具体形象的数学概念表征，数学思维则基于具体对象的直观感知而产生，如研究函数问题时的函数的图像）、符号化表征（即数学问题用具有过程mm*性和结构性的符号来表征，如解决计数问题时的CA,(,nmnmN≥∈、)）、形式化表征nn（数学问题用数学概念的形式定义和证明表征）等.在初等数学教学中，我们根据表征方
4、式在数学学习中的交流和认知等作用将数学问题表征方式简单地分为五种表征系统：实物情景、模型或图式（即关于某类问题的识别模式及求解程式的总和）、图形或图表、文字语言、数学抽象符号.例1以表征方式在认知中的作用分类下的各种数学问题表征方式举例2222012nn*①证明：()()()CCC+++?+=∈(CC)()nNnnnnn2分析利用情景表征问题，即有甲、乙两个袋中各装有个不同的球，从两个袋中分别取nnn2出x,y(,xyN∈)个球，使得x+=yn，则不同的取球种数为xnx−in.∑∑CCnn⋅=()Cn=C2nxi==00②在四面体ABCD中，AB======CD6,AC
5、BD4,ADBC5,求四面体ABCD的外接球的半径.分析利用模型或图式表征问题，如图1，将四面体ABCD内置于长方体AABB−CDDC内，则四面体ABCD1111154的外接球的半径长为长方体的体对角线AD的一半,即.14⎧
6、logxx
7、,0<≤42③已知函数fx()=⎨，若方程2⎩xxx−+>1234,4f(),xttR=∈有四个不同的实数根x,,,xxx，求x⋅xxx⋅⋅的取值范围.12341234分析利用函数的图像表征问题，如图2，绘制函数yfx=()的图像，该图像与直线yt=−tt的交点横坐标从左到右依次为x,,,xxx，从而xxx==⋅2,2,xt=34−,t
8、∈(0,2)，12341234从而xxxx⋅⋅⋅=−∈34t(32,34).1234+④若x,,yzR∈，且x++=yz1，求证：149++≥6.xyz分析利用文字语言表征上述代数结构，某离散型123随机变量X的取值可为,,，对应的概率为xy,,z，xyz22则借助EX()(≥EX)即得不等式.⑤设有红、黑、白三种颜色的球各10个.现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等，问共有多少种放法？分析利用数学符号表征问题，设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为xy,,z，则有1,,≤≤xyz9，且xyz=−−−(10x
9、)(10y)(10z)，即xyz=50050(−+xy+z)5(++xyyz+zx)，有5xyz.因此xy,,z中必有一个取5，不妨设x=5，此时共9种方法，从而共9×3－2=25种放法.对于给定的数学问题，问题表征方式受到多种因素的制约，既受制于问题解决者自身独特的内部知识结构和解决问题时的心理状态，也受制于问题呈现的方式，同时解题者对问题的表征方式并不是静止的，随着对问题情景理解的不断深入会逐渐修正其表征方式，促使表征方式向适宜自身理解的方向前进.问题表征的方式的合理性将严重影响后续问题的解决.一般地，一个合宜的数学问题表征应该满足三
