计算方法习题集及答案(总结版).pdf

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1、习题一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法nTnn×n2.试证明x∞=maxxi,x=(x1,x2,Lxn)∈R及A∞=max∑aij,A=(aij)∈R.1≤i≤n1≤i≤nj=1证明：（1）令xr=maxxi1≤≤innnxnxp1/pip1/prp1/p1/px∞=lim(p→∞∑xi)=limp→∞xr[∑()]≤limp→∞xr[∑()]=limp→∞xr⋅n=xri=1i=1xri=1xr即x≤x∞rnnp1/pp1/p又lim(∑xi)≥lim(∑xr)=xrp→∞p→∞i=1i=

2、1即x≥xx=x∞r∞r⑵设x=(,...)xx≠0，不妨设A≠0，1nnnnn令µ=max∑aijAx∞=max∑axijj≤max∑axijj≤maxximax∑aij=µx∞1≤≤in1≤≤in1≤≤in1≤≤in1≤≤inj=1j=1j=1j=1Axn∞即对任意非零x∈R，有≤µx∞Ax0∞下面证明存在向量x≠0，使得=µ，0x0∞nT设µ=∑aij0，取向量x0=(,...)x1xn。其中xj=signa(ij0)(j=1,2,...,)n。j=1nn显然x0∞=1且Ax0任意分量为∑aij0xj=∑aij0，i=1i=1nn故有Ax0∞=max∑axi

3、jj=∑aij0=µ即证。ii=1j=13553.古代数学家祖冲之曾以作为圆周率π的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？1133251解：x==&0.31415929210×133∗355−617−x−x=π−=0.26610×≤0.510×该近似值具有7为有效数字。11314.若T(h)逼近其精确值T的截断误差为∞2iR(T:)=T(h)−T=∑Aihi=1T0(h)=T(h)hm其中，系数Ai与h无关。试证明由4Tm−1()−Tm−1(h)Tm(h)=2,m=,2,1Lm4−1∞(m)2m+2所定义的T的逼近序列{Tm(h)}的误差为Tm(h)−T

4、=∑Aih，i=1(m)其中诸A是与h无关的常数。i∞2i证明：当m=0时左边（）-=Th0T=∑右∆ih=边i1=∞()k2k+2i设m=k时等式成立，即Th（）-kT=∑∆ihi1=当m=k+1时∞∞k+1hk+1()kh2k+2i()k2k+2i4Tk()−Thk()4[T+∑∆i()][−T+∑∆i()h]2i=12i=1T（）-hT=−T=−Tk+1k+1k+14−14−1∞()k2(k++1)2i=∑∆i()h即证。i=1习题21.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：cosx+sinxx（1）x=;(2)x=4−2。4解：cosxk+sinxkcosx+

5、sinx'（1）迭代公式x=,()ϕx=，ϕ()x<1公式收敛k+144k0123x00.250.250980.25098k*x≈0.25098ln(4−x)'（2）ϕ()x=，x=1.5，ϕ()x<1局部收敛00ln2ln(4−x)kx=k+1ln2k0123456789102x1.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.3861.386k*x≈1.386322.方程x−x−1=0在x=5.1附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：11（1）x=1+,对应迭代公式x+1=1+;2k2xxk（2）x3=1+x2，对应迭

6、代公式x=31+x2;k+1k211（3）x=,对应迭代公式x+1=。kx−1x−1k判断以上三种迭代公式在x=5.1的收敛性，选一种收敛公式求出x=5.1附近的根到4位有效数字。00解：1'2'（1）ϕ()1x=+ϕ()x=−ϕ()x<1局部收敛230xx22−2'23'（2）ϕ()x=1+xϕ()x=−x(1+x)ϕ()x<1局部收敛0321'1−3'（3）ϕ()x=ϕ()x=−(x−1)ϕ()x>1不是局部收敛0x−12迭代公式（1）：0123456781.51.444441.479291.4569761.471081.462091.467791.44161

7、.466479101112131415161.46501.465931.46531.465721.465481.465631.4655341.465595*x≈1.466迭代公式（2）：k0123456x1.51.4811.4731.4691.4671.4661.466k*x≈1.466*3.已知x=ϕ(x)在[a,b]内有一根x，ϕ(x)在[a,b]上一阶可微，且∀x∈[a,b],ϕ′(x)−3<1，试构造一个*局部收敛于x的迭代公式。解：方程x=ϕ()x等价于x=0.5[()3]ϕx−x构造迭代公式x=−0.5[()3]ϕx−xk+1kk令φ()x=−0.5[

8、()3]ϕ