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1、习题一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法2.试证明及证明：（1）令即又即⑵设，不妨设，令即对任意非零，有下面证明存在向量，使得，设，取向量。其中。显然且任意分量为，故有即证。3.古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？解：该近似值具有7为有效数字。271.若T(h)逼近其精确值T的截断误差为其中，系数与h无关。试证明由所定义的T的逼近序列的误差为，其中诸是与h无关的常数。证明：当m=0时设m=k时等式成立，即当m=k+1时即证。习题21.试构造
2、迭代收敛的公式求解下列方程：（1）;(2)。解：（1）迭代公式，公式收敛k012300.250.250980.25098（2），，局部收敛k012345678910271.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.3861.3861.方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：（1）,对应迭代公式;（2），对应迭代公式;（3）,对应迭代公式。判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式求出附近的根到4位有效数字。解：（1）局部收敛（2）局部收敛（3）不是局部收敛迭代公式（1）：0123456781
3、.51.444441.479291.4569761.471081.462091.467791.44161.466479101112131415161.46501.465931.46531.465721.465481.465631.4655341.465595迭代公式（2）：k01234561.51.4811.4731.4691.4671.4661.4662.已知在[a,b]内有一根，在[a,b]上一阶可微，且，试构造一个局部收敛于的迭代公式。解：方程等价于构造迭代公式令27由于在[a,b]上也一阶可微故上述迭代公式是有局部收敛性.1.设在方程根
4、的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有局部收敛性。证明：在邻近有连续一阶导数，则在附近连续，令则取则时有从而故令，由定理2.1知，迭代公式是有局部收敛性。2.用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。解：y次迭代公式k01233.53.643.633.633.试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。解：令y次迭代公式故27从而，时，故，故牛顿迭代公式是线性收敛的1.应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。解：相应的牛顿迭代公式为迭代函数，，则，27习题31.设有方程组(1)考察用Jacob
5、i法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；(2)用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。解：（1）A是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。（2）雅克比法：，，，取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3），，高斯-塞德尔法：，，取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3），，2.设有方程组,,迭代公式：,.求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.27证明：迭代公式中的矩阵，，由迭代收敛的充要条件知即证。1.用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求..解：SOR方法故，迭代初
6、值k00.0000000.00000010.6000000-1.32000021.2720000-0.85440030.858240-1.07164841.071341-0.96426850.964293-1.01785961.017857-0.99107170.991071-0.99776881.004464-0.99776890.997768-1.001116101.001116-0.999442110.999442-1.000279121.000279-0.999861130.999861-1.000070141.000070-0.999
7、965150.999965-1.000017161.000017-0.999991271.用选列主元高斯消去法求解方程组解：解得2.用追赶法解三角方程组解：高斯迶元27回代得解为1.用三角分解法求解方程组解：系数矩阵三角分解为：原方程可表为：解得解得2.用选主元法去法计算下列行列式的值.27解：1.设计算.解：27习题四1.给出概率积分的数据表：试用二次插值计算.X0.460.470.480.49f(x)0.48465550.49375420.50274980.5116683解：取插值节点：2.已知y=sinx的函数表X1.51.61.7sin
8、x0.997490.999570.99166试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.解：由
