计算方法习题集及答案

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1、练习一班级学号姓名1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？2.试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。解：此算法是数值稳定的。3.试证明及证明：（1）令即又即⑵设，不妨设，令即对任意非零，有下面证明存在向量，使得，设，取向量。其中。显然且任意分量为，故有即证。1.已知，___________，_______________。2.已知矩阵，试计算A的谱半径。解：3.已知，试计算，，，1.2.古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？解：该近似值具有7为有效数字。3.若T(h)逼近其精确值T的

2、截断误差为其中，系数与h无关。试证明由所定义的T的逼近序列的误差为，其中诸是与h无关的常数。证明：当m=0时设m=k时等式成立，即当m=k+1时即证。练习二班级学号姓名1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：（1）;(2)。解：（1）迭代公式，公式收敛k012300.250.250980.25098（2），，局部收敛k0123456789101.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.3861.3861.方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：（1）,对应迭代公式;（2），对应迭代公式;（3）,对应迭代公式。判断以上三种迭代公式在的收敛性，选

3、一种收敛公式求出附近的根到4位有效数字。解：（1）局部收敛（2）局部收敛（3）不是局部收敛迭代公式（1）：0123456781.51.444441.479291.4569761.471081.462091.467791.44161.466479101112131415161.46501.465931.46531.465721.465481.465631.4655341.465595迭代公式（2）：k01234561.51.4811.4731.4691.4671.4661.4661.已知在[a,b]内有一根，在[a,b]上一阶可微，且，试构造一个局部收敛于的迭代公式。解：方程等价于构造迭代公式

4、令由于在[a,b]上也一阶可微故上述迭代公式是有局部收敛性.2.设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有局部收敛性。证明：在邻近有连续一阶导数，则在附近连续，令则取则时有从而故令，由定理2.1知，迭代公式是有局部收敛性。3.，要使迭代法局部收敛到，则的取值范围是______________。4.用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。解：y次迭代公式k01233.53.643.633.631.试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。解：令y次迭代公式故从而，时，故，故牛顿迭代公式是线性收敛的2.应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式，并讨论其

5、收敛性。解：相应的牛顿迭代公式为迭代函数，，则，练习三班级学号姓名1.设有方程组(1)考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；(2)用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。解：（1）A是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。（2）雅克比法：，，，取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3），，高斯-塞德尔法：，，取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3），，2.设有方程组,,迭代公式：,.求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.证明：迭代公式中的矩阵，，由迭代收敛的充要条件知即证。1.给定方程组，确定的取值

6、范围，使方程组对应的Jacobi迭代收敛。2.用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求..解：SOR方法故，迭代初值k00.0000000.00000010.6000000-1.32000021.2720000-0.85440030.858240-1.07164841.071341-0.96426850.964293-1.01785961.017857-0.99107170.991071-0.99776881.004464-0.99776890.997768-1.001116101.001116-0.999442110.999442-1.000279121.000279-0.999861

7、130.999861-1.000070141.000070-0.999965150.999965-1.000017161.000017-0.9999911.给定线性方程组AX=b，其中，1）求出使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛的的取值范围。2）当时，给出这两种迭代法的收敛速度之比。2.用Gauss消去法解方程组1.用选列主元高斯消去法求解方程组解：解得2.用追赶法解三角方程组解：高斯迶元回代得解为1.