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《计算方法习题集及答案第四版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题1.11.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法2.试证明及证明：（1）令即又即⑵设，不妨设，令即对任意非零，有下面证明存在向量，使得，设，取向量。其中。显然且任意分量为，故有即证。3.古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？解：该近似值具有7为有效数字。4.若T(h)逼近其精确值T的截断误差为其中，系数与h无关。试证明由所定义的T的逼近序列的误差为，其中诸是与h无关的常数。证明：当m=0时设m=k时等式成立，即当m
2、=k+1时即证。习题2.11.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：（1）;(2)。解：（1）迭代公式，公式收敛k012300.250.250980.25098（2），，局部收敛k0123456789101.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.3861.3861.方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：（1）,对应迭代公式;（2），对应迭代公式;（3）,对应迭代公式。判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式求出附近的根到4位有效数字。解：（1）局部收敛（2
3、）局部收敛（3）不是局部收敛迭代公式（1）：0123456781.51.444441.479291.1.471081.462091.467791.44161.466479101112131415161.46501.465931.46531.465721.465481.465631.1.迭代公式（2）：k01234561.51.4811.4731.4691.4671.4661.4662.已知在[a,b]内有一根，在[a,b]上一阶可微，且，试构造一个局部收敛于的迭代公式。解：方程等价于构造迭代公式令由于在[a,b]
4、上也一阶可微故上述迭代公式是有局部收敛性.3.设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有局部收敛性。证明：在邻近有连续一阶导数，则在附近连续，令则取则时有从而故令，由定理2.1知，迭代公式是有局部收敛性。1.用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。解：y次迭代公式k01233.53.643.633.632.试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。解：令y次迭代公式故从而，时，故，故牛顿迭代公式是线性收敛的1.应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。解
5、：相应的牛顿迭代公式为迭代函数，，则，习题3.11.设有方程组(1)考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；(2)用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。解：（1）A是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。（2）雅克比法：，，，取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3），，高斯-塞德尔法：，，取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3），，2.设有方程组,,迭代公式：,.求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.证明：迭代公式中的
6、矩阵，，由迭代收敛的充要条件知即证。1.用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求..解：SOR方法故，迭代初值k00.0.10.-1.21.-0.30.-1.41.-0.50.-1.61.-0.70.-0.81.-0.90.-1.101.-0.110.-1.121.-0.130.-1.141.-0.150.-1.161.-0.1.用选列主元高斯消去法求解方程组解：解得2.用追赶法解三角方程组解：高斯迶元回代得解为1.用三角分解法求解方程组解：系数矩阵三角分解为：原方程可表为：解得解得2.用选主元法去法计算下列
7、行列式的值.解：1.设计算.解：习题四.11.给出概率积分的数据表：试用二次插值计算.X0.460.470.480.49f(x)0.0.0.0.解：取插值节点：2.已知y=sinx的函数表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.解：由题意得如下差商表故又故：1.设为互异节点(),求证(1)(2)证明：令又所以故原等式左边用二项式展开得：由结论得即证2.若,求和.解：1.证明两点三次He
8、rmite插值余项是证明：且即为的二阶零点设令易知又由微分中值定理（Rolle定理），使得进而有三个零点，有两个零点，有一个零点，即使得得2.构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x)X-1013Y-11331428解：已知边界条件即从而解得当即时故同理，在及上均有1.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合X1925313844Y19.032.349.07
