复变函数PPT第三章.ppt

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1、第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念一、复积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质例1解直线段方程为这两个积分都与路线C无关都有例2解(1)积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为y=x(2)抛物线y=x2上从原点到1+i的弧段；y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为此例说明积分与路线有关．注：(3)从原点沿x轴到1，再从1到1+i的折线.例3解C的参数方程为重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.例4解根据估值不等式知小结与思考本课学习了复积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函

2、数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.思考题本课中重点掌握复积分计算的一般方法.即为一元实函数的定积分.思考题答案§3.2柯西积分定理一、基本定理二、原函数三、复合闭路定理例3解根据柯西－古萨定理，有例4解根据柯西－古萨定理得都在曲线例5解例6解例7解使用:“分部积分法”课堂练习答案例8．解所以积分与路线无关,根据N-L公式:例9解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理，例10例10解由闭路变形原理,重要积分公式此结论非常重要，用起来很方便，因为C不必是圆，a也不必是圆的圆心，只要a在简单闭曲线C内即可.解（方法一）依题意知,例11由上例的结论，（方法二

3、）根据复合闭路定理，分割包围!柯西积分定理重要公式柯西积分定理重要公式思考题答案1.应用柯西–古萨定理应注意什么?(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用.2.解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同?两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大.§3.3柯西积分公式一、柯西积分公式二、最大模原理例1计算下列积分解由柯西积分公式例2解(1)由柯西积分公式解(2)例3解根据柯西积分公式知,例4解例5计算积分其中C是正向圆周解在C内部作正向圆周由复合闭路定理，因为在C1围成的闭区域上解析,在C2围成的

4、闭区域上解析,故由Cauchy积分公式课堂练习答案由闭路复合定理,得思考题思考题答案由柯西基本定理，积分值为0．例1求积分解：因为函数在复平面解析,在内，n=3，根据高阶导数公式：例2求积分解因为函数在复平面解析，在内，n=1，根据高阶导数公式：例3计算下列积分，其中C是正向圆周解：(1)因为函数在C内z=1处不解析,但在C内处处解析，所以根据高阶导数公式函数在C内的处不解析.在C内分别以i和–i为中心作正向圆周C1和C2，则函数在由围成的区域内解析，所以由复合闭路定理：C是正向圆周于是同理解：例4求积分其中n为整数.(1)n0时，函数在上解析.(2)n=1时，由Ca

5、uchy积分公式得由Cauchy积分定理得(3)n>1时，根据高阶导数公式：例5解根据复合闭路定理课堂练习答案解分以下四种情况讨论：思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?思考题答案这一点与实变量函数有本质的区别.