同济微积分课件.ppt

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1、第三节函数极限的定义一、函数在有限点处的极限二、函数在无穷大处的极限本节要点一、函数在有限点处的极限在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数.那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.引例设函数2+2-x12yo从图形中可以看出：尽管函数在点处没有定义，但当趋近于1而不等于1时，相应的曲线上的点趋近于直线更进一步的可以看到，对于轴上的任何一个以2为中心，为半径的邻域，在轴上都2+2-x12yo可以找到一个相应的以1为中心、为半径的去心邻域，在该邻域中的点所对应的直线上的点都落在、围成的带形区域中.将上面的问

2、题一般化，就得到函数在有限点处极限的定义.或定义设函数在点的某个去心邻域中有定义，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，对于满足的一切，都有那么常数就称作函数当时的极限，记为函数在点处的极限的几何意义A+A-Axyo例设函数x12yo注：函数在点处的极限与函数在这一点是否有定义、或为多少毫无关系，它所反映的是在该点附近的变化趋势.则，x12yo但事实上，极限与的取值毫无关系.注函数在点的极限的定义说明了如何去证明函数在点的极限为的方法：对于考虑经过不等式的变形，得到关系其中是一个与无关的常量．再取，则当时，有：此即说明例1证明下列极限⑴⑵证⑴因所以故⑵因欲使即所以不妨取此时令则

3、当时，有因而例2证明证因所以所以例3证明证因为能解出不等式，要对进行适当的控制，为此限定的变化范围是，此时有所以所以例4证明证因取即则所以所以证因例5设，证明所以左右极限前面讨论的是函数在某一点的极限，它反映的是当在该点两侧趋近于时，函数有一个确定的变化趋势，但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，这就需要分别加以讨论.考虑函数:oxy1-1该函数在点两侧的变化趋势是不同的：当在0的右侧趋近于0时，；而当在0的左侧趋近于0时，．这就导出左右极限的概念.oxy1-1定义设函数在的某个左(右)邻域内有定义，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，只要满足对应的函数值就满足那么

4、常数就称作函数在处的左(右)极限．左极限记为右极限记为容易验证：定理极限存在的充分必要条件是在点处的左右极限存在并且相等．例6符号函数则所以不存在．xyo二、函数在无穷大处的极限那么常数就叫做函数当时的极限，记为定义设函数当时有定义，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，只要满足，对应的函数值都满足函数在无穷大处的极限的几何意义xyoA-A+AX-X从图中可以看出，对于任意给定的正数，存在正数，当，对应的函数图形均落在围成的带形区域中.和定理将上述定义中的取值范围限定在一侧，就得到例7证明证因所以所以例8证因当时，则有不等式即：令则当时，有例9求解因所以不存在．定理1(

5、局部有界性)如果极限存在，那么在的某个去心邻域内，函数有界.证设，由定义，对存在当有即：在的某个去心邻域内有界.局部有界的几何意义从图中可以看出局部有界的含义：函数在处的极限为，则存在点x0的一个去心邻域当点在该邻域中，对应的函数图形在某一个带形区域中.xyoA+1A-1A右图说明保号性的几何意义．定理2(极限的保号性)如果，则存在点的某个去心邻域内，使得在该邻域中有当时，有证设，由定义，对存在xyo3A/2A/2A值得注意的是，在上面的问题中，若将不等式改为严格不等式，则结论不真.推论在的某个去心邻域中，有且则例但证设，则存在当有定理3(函数极限的归并性)设存在，又设是函数定义域中的一个任

6、意数列，且则相应的数列收敛，且又因故存在，当时，有因而即此定理的一个实际意义是：对函数，如果能够找到两个不同的子列，使函数收敛到两个不同的值，则说明函数在这一点无极限.证令则但所以不存在.例证明函数在处极限不存在.