同济微积分课件.ppt

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1、第三节隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率本节要点一、隐函数的导数隐函数的概念所谓函数表示的是两个变量和之间的关系.这种对应关系在某种情况下，可以用一个较为明确的关系式来表示.例如都反映了这种对应关系.这类关系的特点是：对自变量的每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量的值.用这种方式表达的函数称为显函数.但某种情况下，这种对应关系是通过一个方程来确定的.通过方程可以确定和的对应关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显式方程来表示.例如方程就在区间上确定了

2、一个函数又如方程当限定，则在区间内确定了一个函数.在某些情况下，隐函数能转化成显函数，例如前面的函数关系可转化成但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例如由所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式．我们把这一类函数称为隐函数.对给定的方程，在什么条件可以确定隐函数，并且关于可导？这个问题在下册中将会讨论.在这里通过具体的例子来说明如何求出隐函数的导数．例1求由方程所确定的隐函数的导数解方程两边对求导，并注意到是的函数，利用复合函数的求导法则，有即有从而得例2求由方程确定的隐函数在的导数．解方程两边对求导，得整理后有

3、⑴⑵当时，，故，即隐函数在点函数值将代入⑵式得例3求由方程所确定的隐函数的导数.解方程两边对求导，得因，所以即有-2xyo2424-2-4-4例4求由方程确定的曲线在点的切线方程.解方程两边对求导，得将代入上式，解出，得故切线方程为二、由参数方程确定的函数的导数在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示曲线，例如，参数方程表示的中心在原点、半径为的圆.通过参数可以建立与的对应关系:如果或如果一般，若参数方程确定变量与之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数．在上式中，若函数在某个定义区间上具有单调、连续的反函数，并且此

4、函数能与函数构成复合函数，由此得函数再由复合函数的求导法则，得注意的是:这里的导数一般情况下，仍然可能是用参数来表示．如果函数与有二阶导数，则有函数的二阶导数公式:但更多的情况下，我们宁可采取直接求导的方法来求出高阶导数，而不是死记这个繁琐的公式．例5求曲线在处所对应的切线和法线方程．故切线方程为即解当时，曲线上相应的点的坐标为，曲线在该点的切线斜率为法线方程为即三、相关变化率设与都是可导函数，且变量与之间存在某种联系，从而变化率与之间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.例6一梯子长，上端靠着墙，下端着地，梯

5、子顺墙下滑．当梯子下端离墙时，沿着地面以的速度离墙，问这时梯子上端下滑的速度是多少？解如图建立坐标系．设在时刻时，梯子上端的坐标为梯子下端的坐标为因梯子的长度为故有关系式方程两端对求导，得关系式当代入上式，得例7一飞机在离地面的高度，以的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机飞至该目标上空时，摄影机转动的角速度．解如图建立坐标系．设飞机与目标的水平距离为，则由已知条件得：飞机角速率为所以当飞机飞至目标正上方时，角速度为第四节高阶导数记为或若在处都可导，则由极限若函数在区间中点点可导，即则很自然地会考虑函数的可导性

6、．若在处可导，则称在处的导数为在处的二阶导数，确定了一个以为定义域的函数，称其为的二阶导函数，简称为二阶导数.记为由定义，知同样可以定义三阶、四阶导数，及更高阶的导数.一般地，有为了记号上的方便，我们约定例8求函数的二阶导数.解例9求的阶导数.解例10求由方程确定的隐函数在的二阶导数．解方程两边对求导，得整理后有⑴⑵当时，，故，即隐函数在点函数值将代入⑵式得对⑴式继续求导，得⑶将代入⑶得，例11计算由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数．解例12求的阶导数.解例13求的阶导数.解一般，若则阶导数的莱布尼茨公式：设在处有阶导数，

7、则，若记则有，例14已知求解设则代入莱布尼茨公式，得