同济大学微积分课件.ppt

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1、预备知识1.集合的概念在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称否则，记为一、集合如果元素在集合中，记为为一个集合.集合中的事物称为该集合的元素.只有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.常用数集:自然数集:整数集:有理数集:复数集:2.集合的运算集合的交:集合的并:集合的差:设是两个集合，由此定义如下几个集合：集合的运算满足如下运算率：交换率:结合率:分配率:3.区间和邻域开区间:闭区间:设是实数，且半开半闭区间:无穷区间:注意：无穷端不能写成闭的记号设是实数，且则定义点的邻域为集合：邻域：如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点的空心邻域：1.映射的概

2、念二、映射设是两个非空集合，如果存在一个法则使得而元素称为的象，记作，即对中的每个元素按此法则在中有唯一的元素与之对应，那么称为从到的映射，记作例设则是到的映射.例设则是到的映射.2.几类重要映射一一对应：既单又满的映射称为一一对应.例在前面的两例中，例2是一一对应，而例1则不是.设是到的映射.满射：若即使得单射：若则必有3.逆映射与复合映射则：逆映射：设是到的一一映射，则对中任一元素例设可以确定中的唯一元素满足称此对应关系为映射的逆映射，记为复合映射：设有映射其中称此映射为由构成的复合映射，记为由此可以确定一个从到的映射例：设则复合映射为1.概念三、一元函数从数集

3、到实数集的任一映射称为定义在上的称为的图象.而数集则称为函数一元函数，通常记为而中的集合的定义域.注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的例则定义域为例则定义域为方式给出，即定义域为使表达式有效的一切实数.以下例中函数的定义域均为实数集。例3符号函数例取整函数12345-2-4-4-3-2-14321-1-32.函数的几种特性有界无界有界性设函数的定义域为数集如果都有就称在上有界,否则称为无界函数.例在上是有界函数，在上无界.域内是无界函数.例试说明函数在的任何空心邻解设，取，其中则所以无界.单调性设函数的定义域为区间如果对任意的当时，总有则称函数为区间上的

4、单调增加函数；如果时，总有则称函数为区间上的单调减少函数.图形特征：单调增加函数图形单调减少函数图形奇偶性设函数的定义域为关于原点对称，如果对任意的都有就称为偶函数；如果对任意的都有就称为奇函数.图形特征：偶函数奇函数使得对任意的当总有通常我们说的周期指的是最小正周期.周期函数设函数的定义域为如果存在数就称为周期函数，称为的周期.例如，的最小正周期是例：狄利克雷函数则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期.3.反函数和复合函数反函数设函数是一一对应，则其逆映注：习惯上用表示为自变量，所以函数的射为的反函数.的反函数仍表示为注：函数与它的反函数的图形关于对称.复合

5、函数复合函数本质上是复合映射在函数上的推广.当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即得到复合函数的定义.4.基本初等函数⑴幂函数（是常数）⑵指数函数⑶对数函数⑷三角函数①正弦函数②余弦函数③正切函数④余切函数③正割函数④余割函数⑸反三角函数①反正弦函数②反余弦函数③反正切函数③反余切函数5.初等函数由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的函数称为初等函数.6.双曲函数最后再简单介绍在工程技术中经常用到的一类函数⑴双曲正弦函数⑵双曲余弦函数——双曲函数.