同济大学-高等数学微积分教案

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1、38第一章：函数与极限1.1初等函数图象及性质1.1.1幂函数函数　（m是常数）　叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m是什么数而定。例如，当m=3时，y=x3的定义域是(-∞,+∞)；当m=1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞)；当m=-1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞)。但不论m取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]1.1.2指数函数与对数函数1．指数函数函数y=ax（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞,+∞)。因为对于任何实数值x，总有ax>0，又a0=1，

2、所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。若a>1，指数函数ax是单调增加的。若00，a≠1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞)。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y=x对称（图1-22）。y=logax的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。若a>1，对数函数logax是单调增加的，在开区间(0,1

3、)内函数值为负，而在区间(1,+∞)内函数值为正。若0

4、。但是，我们可以选取这些函数的单值支。例如，把Arcsinx的值限制在闭区间[-，]上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinx。这样，函数y=arcsinx就是定义在闭区间[-1，1]上的单值函数，且有。1.2 数列极限的概念设{}是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N，当n>N时都有，我们就称a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛，且收敛于a，记为，a即为的极限。数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全部落在这个区间内。1.3函数极限的概念设函数f(x)在点附近（但可能除掉点本身）有定

5、义，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时，总有，我们就称A是函数f(x)在点的极限，记作,这时称f(x)在点极限存在，这里我们不要求f(x)在点有定义，所以才有。例如：，当x=1时，函数是没有定义的，但在x=1点函数的极限存在，为382。1.4单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。对

6、这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义）。但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列，易证它是单调增加且有界（小于3），故可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它，即　。可以证明，当x取实数而趋于或时，函数的极限存在且都等于e，这个e是无理数，它的值是　e=2.718281828459045…1.5柯西（Cauchy）极限存在准则我们发

7、现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。柯西（Cauchy）极限存在准则　数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m>N，n>N时，就有　。必要性的证明　设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N，当n>N时，有；同样，当m>N时，也有　。因此，当m>N，n>N时，有所以条件是必要的。充分性的证明从略。这准则的几何意义表示，数列收敛的充

8、分必要条件是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大号码的点，任意两点间的距离小于。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。1.6