2019年多元函数的极值问题课件.ppt

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1、§2.4多元函数的极值问题2.4.1多元函数的极值问题2.4.2条件极值的问题12.4.1多元函数的极值问题1.极值22.4.1多元函数的极值问题1.极值例如32.4.1多元函数的极值问题1.极值例如例如42.4.1多元函数的极值问题1.极值例如例如例如在点(0,0)无极值.52.4.1多元函数的极值问题1.极值（函数取极值的必要条件）6说明：使偏导数都为0的点称为驻点.例如,但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.72.4.1多元函数的极值问题1.极值（函数取极值的充分条件）8

2、9A=B=C=故故10例2.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数11在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;122.4.1多元函数的极值问题2.最大值与最小值极值与最值的区别：注：132.4.1多元函数的极值问题2.最大值与最小值最大值和最小值的求法14其中仅有(2,1)在区域D内，故函数在D内有惟一驻点其值为f(2,1)=4.15（续上页）0，－6

3、4.16利润函数17且18例4.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.19极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制.对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制.2.4.2条件极值的问题20方法Lagrange乘数法.条件极值的求法:如方法1所述,则问题等价于一元

4、函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设故故有记21若引入辅助函数极值点必满足则【2.4.4】也就是:辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.【2.4.4】【2.4.5】22利润函数为约束条件为根据拉格朗日乘数法，得Lagrange函数23根据拉格朗日乘数法，得Lagrange函数（续上页）由方程组24则总费用＝设两种产品每批生产的批量分别为x，y.＝约束条件为根据拉格朗日乘数法，得Lagrange函数25约束条件为根据拉格朗日乘数法，得Lagr

5、ange函数（续上页）由方程组26§2.4结束课后习题：习题提示：P74习题2.427