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时间：2020-07-27
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1、递归数列的极限（2）白鹭溪1考虑以下递归定义的数列：其中m是任何正实数。可以证明：以上数列(1)当m=2时是常数列；(2)当m>2时单调减少的；(3)当m<2时单调增加的。数列总是收敛的，且2先来用Excel做一个实验看看数列的趋势Excel实验3m=1.84m=1.8数列单调增加，且有上界。5m=126m=12数列单调减少，且有下界。7m=28m=2数列为常数列9其中m是任何正实数。下面证明：当m=2时是常数列；当m>2时单调减少，且有下界；以上数列当m<2时单调增加，且有上界。10(1)当m=2时数列为常数列。11(2)数列当m>2时数列单调减
2、少，且有下界。首先，然后假设，则所以，由数学归纳法，对所有的n，都有，于是数列是单调减少的。（因为）显然，这个正数列以0为下界。12(3)数列当m<2时单调增加，且有上界m+2。首先，然后假设，则所以，由数学归纳法，对所有的n，都有，于是数列是单调增加的。（因为）13这就证明了，是数列的上界。下面用数学归纳法证明数列有上界首先，然后假设，。则（因为）所以，由数学归纳法，对所有的n，都有14根据单调有界数列必有极限的准则，对所有大于0的数m，以上数列都收敛。记由，得两端取极限：得或由二次方程的求根公式，解得即（舍去负根）15
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