线性方程组的求解课件.ppt

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1、第五章解线性方程组的方法5.1引言5.2高斯消元法5.3三角分解法5.4误差分析5.5迭代求解法§1引言一般的线性方程组本章：即有唯一的求法求法直接求法（解析法）间接方法（数值方法、迭代方法）1.Grammer法则：2.Gauss消元法及其改进3.三角分解法（L-U方法）适用：当A为低阶稠密阵（n<150）.1.一般迭代法2.Jacobi法3.Seidel法4.SOR法适用：当A为高阶稀疏矩阵（n>150)二、预备知识1.几个概念：1°单位上(下)三角阵：主对角元素均为1的上（下）三角阵相关结论：其逆仍为单位上（下）三角阵其积仍为单位上（下）三角阵2°置换阵（

2、排列阵）：单位阵经过一次两行（两列）的互换形成矩阵为初等置换阵。初等置换阵的乘积即为置换阵初等置换阵一定为对称阵,3°三对角阵:对方阵当称A为三角阵.4°可约与不可约矩阵：对n阶矩阵A，若存在置换阵P使其中，为r阶子块，为n-r阶子块，则称A为可约矩阵，否则不可约。5°对角占优矩阵：对n阶矩阵A，若或成立，则称A为严格行或列对角占优矩阵。若或且上述不等式至少有一个严格成立，称A为弱对角行（列）占优矩阵。相关结论：若A为严格行或列对角占优矩阵（或A为不可约行或列弱对角占优矩阵），则A可逆。论证：不妨设A为严格行对角占优矩阵反证：A不可逆，即AX=0有非零解设，对

3、AX=0的第K个方程6°矩阵的谱半径：对n阶矩阵A,设为A的全部特征值,称为A的谱半径。2.再论范数1°2°3°主要讨论1°相关结论：中的所有范数均等价,即任意取中的两个范数，则一定存在两个正数C1以及C2使2°上的范数（乘积用的最多）定义：中的范数常用例：但在中常用的是所谓的“算子范数”,称为A的算子范数。易知：称为矩阵范数和向量范数相容。注意：向量范数与矩阵算子范数相容。常用的算子范数为：行范数：列范数：相关结论：1)对任意n阶矩阵A，，（可以是算子范数，也可以是一般范数）论证：设为A的特征值，为对应的特征向量两边取算子范数：若为一般矩阵范数，设,λ对应的

4、特征向量为ξ，ξ≠0Aξ=λξ,令矩阵,使B≠0,其中它一定存在。2)对任意n阶矩阵A，总存在一个算子范数3)对n阶矩阵A，若A的算子范数‖A‖<1,则E±A可逆,且论证：反证：若E±A不可逆，即（E±A）X=0有非零解ξ≠0即（E±A）ξ=0,即有‖A‖≥1,矛盾。4）上的范数均等价,即对上的两个范数及,存在常数C1>0,C2>0.使3.向量列及矩阵列的收敛定义1：给定的向量列及向量若结论：论证：提示取范数为定义2：结论：‖·‖为任意范数特别当n=1，A=a，§2Gauss消元法一、基本思想回忆：方程组的初等变换：1)互换两个方程2)某个方程的非零倍数3)某

5、个方程的非零倍数加到另一个方程上对应线性方程组Ax=b，用矩阵的语言描述：即为增广矩阵（A,b）的初等行变换对列初等变换，除列交换之外，其余两种变换虽可作，但得到的新方程组与原来的方程组不等价特别注意的是：列交换时须记录！显然：方程组经过初等变换变成等价的方程组。下面讨论Gauss消元法：对给定的方程组：Ax=b。经过一系列的方程组的初等变换，将Ax=b转化为Ux=g（U为上三角矩阵，称Ux=g为上三角方程组）或Lx=f（L为下三角矩阵，称Lx=f为下三角方程组）然后回代即可求解，此即为Gauss消元法的基本思想。解释“回代”对Ux=g，即从倒数第一个方程求解

6、，依次求得：类似地Lx=f：二、计算过程消元过程一般化为上三角方程组计算过程回代过程以上三角方程组为例，说明如下：对已知，即为：设doing设：doing：继续以上过程，注意设得到上三角方程，，可以推出，无需假设然后回代即可求解。注Notes：①称为消元的主元素。如何保证有两种途径：1）若A可逆，总可以通过行交换使得（k，k）位置上的元素非零2）Th.1:为A的第k阶顺序主子式.A可逆只能保证第n阶顺序主子式不为0，不能保证其他阶为0.②消元过程的矩阵分析：以此类推：均为单位下三角矩阵归纳有：(单位下三角矩阵的逆为单位下三角矩阵，乘积也为单位下三角矩阵)由此引

7、进如下更一般的三角分解的概念：定义：对n阶矩阵A，若存在下三角阵L及上三角阵U，使A=L•U，则称L•U为A的三角分解。当L为单位下三角矩阵时，称L-U为Doolittel分解（D分解）当U为单位上三角矩阵时，称L-U为Grout分解（G分解）Th.2：对n阶矩阵A，当A的顺序主子式≠0（k=1,2，…，n-1），则A一定存在D分解且D分解唯一。于是有:Gauss消元顺利进行另，为使主元，只要A可逆，交换AX=b的两两个方程组，可使位置上的元素非零，此时Gauss消元法可描述为，存在置换阵P使P•A=L•U。③Gauss消元法的改进Gauss消元法的缺陷：Ga

8、uss消元法的改进：切入点：主元素方法