线性方程组的求解.ppt

《线性方程组的求解.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、线性方程组的求解本节先将二阶、三阶线性方程组的Cramer法则推广到n阶线性方程组；然后介绍求解一般线性方程组的Gauss消元法及相应的初等行变换。非齐次与齐次线性方程组设含n个变量、由n个方程构成的线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.注：齐次线性方程组，主要关注它是否有非零解，如何求出全部非零解；非齐次线性方程组，则是它何时有解，如何求解。一、Cramer法则1.定理1.2：如果由含n个变量、n个方程构成的线性方程组的系数行列式不等于零，即则线性方程组(1)有唯一解其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即证

2、明:先证明(2)是(1)的解；再证明解唯一。将行列式Dj按第j列展开：将代入(1)的第i个方程左边，得将代入(1)的第i个方程左边，得代入Dj提出bj展开定理所以(2)满足(1)的每个方程，是(1)的解。对(1)的任意一组解用D中第j列元素的代数余子式，依次乘方程组(1)的n个方程，得是解将n个方程依次相加，并提出，得根据展开定理及其推论，得即方程组(1)的任意一组解均可唯一表示为：解唯一例1.用Cramer法则解线性方程组解:2.推论1.4：如果齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式为零。说明(1).Cramer法则要求线性方程组满足2个条件，一是方程个数等于变量个数；二是系数行列式非零

3、。说明(2).Cramer法则可以应用求解齐次线性方程组。（用反证法证明）说明(3).推论1.4的等价命题：如果齐次线性方程组(3)的系数行列式非零，则方程组只有唯一零解。说明(4).可以证明，推论1.4的逆命题也成立，即如果系数行列式为零，则方程组(3)有非零解。例2.参数λ取何值时，齐次方程组有非零解？解：首先计算方程组的系数行列式根据说明(4)，D=0时，齐次方程组有非零解。所以或时齐次方程组有非零解.注1：Cramer法则建立了线性方程组的解和它的系数与常数项之间的关系。对于阶数较大的线性方程组，它需要很大的计算量，故Cramer法则主要用于理论推导。注2：Cramer法则用于求解

4、满足(1)方程数=变量数(2)系数行列式非零的线性方程组。如果上面有一个条件不能满足，就无法使用，对于一般的线性方程组问题，需要寻找新的求解方法。二、Gauss消元法由n个变量、m个方程构成的线性方程组线性方程组(4)如果有解，称为是相容的；如果没有解，称为是不相容的。线性方程组所有解构成的集合称为方程组的解集合；具有相同解集合的方程组称为是同解的。消元法引例例3.求解线性方程组解：消元过程得到阶梯形方程组，再回代求解，得方法小结：1.上述解方程组的方法称为Gauss消元法，该方法理论上可以求任意线性方程组的解；2.对线性方程组进行的消元过程，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以

5、非零数乘某个方程；（3）一个方程的k倍加到另一个方程上。（　与　相互替换）（以　　　替换　）（以　　　　替换　）3.上述三种变换都是可逆的。对线性方程组进行的这三种变换统称为线性方程组的初等变换。由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，故这三种变换是同解变换。在用Gauss消元法求解线性方程组的过程中，参与运算的只是方程组的系数和常数项。为了更好地描述线性方程组的求解过程，需要引入新的工具。三、矩阵及其初等行变换1.矩阵定义由个数排成的行列的数表称为m×n阶矩阵，其中aij称为矩阵的元素。矩阵用大写字母表示：实矩阵与复矩阵行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵或

6、n阶矩阵；2.特殊矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量；只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量；例如是一个3阶方阵。n维行矩阵n维列矩阵1×1阶矩阵具有相同行数、列数的矩阵称为同型矩阵；如果两个矩阵是同型的，并且对应位置的元素也相同，则称它们是相等的。3.矩阵相等4.线性方程组的系数矩阵与增广矩阵由n个变量、m个方程构成的线性方程组系数矩阵增广（系数）矩阵说明：Gauss消元法实际上只需要方程组的系数和常数项参与运算，即通过对增广矩阵的操作就可以求解。类似方程组的初等变换，定义矩阵的初等行变换。下面三种变换称为矩阵的初等行变换:5.矩阵的初等行变换（1）交换矩阵两行（交换i,j两行，记为rir

7、j）；（2）用非零数乘矩阵某行（k乘i行，记为kri）；（3）矩阵某行乘以常数，再加到另一行（k乘j行后加到i行，记为ri+krj）。注：利用矩阵的初等行变换，Gauss消元法的求解过程，可以通过对增广矩阵的初等行变换进行。6.阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵A称为阶梯形矩阵（1）若A有零行(元素全为零的行)，则零行位于最下方;（2）非零行的非零首元(自左至右第一个不为零的元，称为主元)列标随行标的递增而递增