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时间:2020-01-18
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1、线性方程组的求解本节先将二阶、三阶线性方程组的Cramer法则推广到n阶线性方程组;然后介绍求解一般线性方程组的Gauss消元法及相应的初等行变换。非齐次与齐次线性方程组设含n个变量、由n个方程构成的线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.注:齐次线性方程组,主要关注它是否有非零解,如何求出全部非零解;非齐次线性方程组,则是它何时有解,如何求解。一、Cramer法则1.定理1.2:如果由含n个变量、n个方程构成的线性方程组的系数行列式不等于零,即则线性方程组(1)有唯一解其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即证
2、明:先证明(2)是(1)的解;再证明解唯一。将行列式Dj按第j列展开:将代入(1)的第i个方程左边,得将代入(1)的第i个方程左边,得代入Dj提出bj展开定理所以(2)满足(1)的每个方程,是(1)的解。对(1)的任意一组解用D中第j列元素的代数余子式,依次乘方程组(1)的n个方程,得是解将n个方程依次相加,并提出,得根据展开定理及其推论,得即方程组(1)的任意一组解均可唯一表示为:解唯一例1.用Cramer法则解线性方程组解:2.推论1.4:如果齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式为零。说明(1).Cramer法则要求线性方程组满足2个条件,一是方程个数等于变量个数;二是系数行列式非零
3、。说明(2).Cramer法则可以应用求解齐次线性方程组。(用反证法证明)说明(3).推论1.4的等价命题:如果齐次线性方程组(3)的系数行列式非零,则方程组只有唯一零解。说明(4).可以证明,推论1.4的逆命题也成立,即如果系数行列式为零,则方程组(3)有非零解。例2.参数λ取何值时,齐次方程组有非零解?解:首先计算方程组的系数行列式根据说明(4),D=0时,齐次方程组有非零解。所以或时齐次方程组有非零解.注1:Cramer法则建立了线性方程组的解和它的系数与常数项之间的关系。对于阶数较大的线性方程组,它需要很大的计算量,故Cramer法则主要用于理论推导。注2:Cramer法则用于求解
4、满足(1)方程数=变量数(2)系数行列式非零的线性方程组。如果上面有一个条件不能满足,就无法使用,对于一般的线性方程组问题,需要寻找新的求解方法。二、Gauss消元法由n个变量、m个方程构成的线性方程组线性方程组(4)如果有解,称为是相容的;如果没有解,称为是不相容的。线性方程组所有解构成的集合称为方程组的解集合;具有相同解集合的方程组称为是同解的。消元法引例例3.求解线性方程组解:消元过程得到阶梯形方程组,再回代求解,得方法小结:1.上述解方程组的方法称为Gauss消元法,该方法理论上可以求任意线性方程组的解;2.对线性方程组进行的消元过程,用到如下三种变换:(1)交换方程次序;(2)以
5、非零数乘某个方程;(3)一个方程的k倍加到另一个方程上。( 与 相互替换)(以 替换 )(以 替换 )3.上述三种变换都是可逆的。对线性方程组进行的这三种变换统称为线性方程组的初等变换。由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的,故这三种变换是同解变换。在用Gauss消元法求解线性方程组的过程中,参与运算的只是方程组的系数和常数项。为了更好地描述线性方程组的求解过程,需要引入新的工具。三、矩阵及其初等行变换1.矩阵定义由个数排成的行列的数表称为m×n阶矩阵,其中aij称为矩阵的元素。矩阵用大写字母表示:实矩阵与复矩阵行数与列数都等于n的矩阵,称为n阶方阵或
6、n阶矩阵;2.特殊矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量;只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量;例如是一个3阶方阵。n维行矩阵n维列矩阵1×1阶矩阵具有相同行数、列数的矩阵称为同型矩阵;如果两个矩阵是同型的,并且对应位置的元素也相同,则称它们是相等的。3.矩阵相等4.线性方程组的系数矩阵与增广矩阵由n个变量、m个方程构成的线性方程组系数矩阵增广(系数)矩阵说明:Gauss消元法实际上只需要方程组的系数和常数项参与运算,即通过对增广矩阵的操作就可以求解。类似方程组的初等变换,定义矩阵的初等行变换。下面三种变换称为矩阵的初等行变换:5.矩阵的初等行变换(1)交换矩阵两行(交换i,j两行,记为rir
7、j);(2)用非零数乘矩阵某行(k乘i行,记为kri);(3)矩阵某行乘以常数,再加到另一行(k乘j行后加到i行,记为ri+krj)。注:利用矩阵的初等行变换,Gauss消元法的求解过程,可以通过对增广矩阵的初等行变换进行。6.阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵A称为阶梯形矩阵(1)若A有零行(元素全为零的行),则零行位于最下方;(2)非零行的非零首元(自左至右第一个不为零的元,称为主元)列标随行标的递增而递增
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