《线性方程组求解》PPT课件.ppt

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1、考虑非齐次线性方程组其中给定，而为待定向量。若方程组是相容方程组；否则，称为矛盾方程组或不相容方程组。则线性方程组有解，则称该关于线性方程组的求解问题，常见的有以下几种情形：1）在相容时，若系数矩阵，且非奇异，即则有唯一解但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。线性方程组求解2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的解，即其中为欧氏范数，可以证明满足此条件的解是唯一的，称为极小范数解。3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出这样的解：其中为欧氏范数，称这个问题

2、为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x为矛盾方程组的最小二乘解。4）一般说来，矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有最小范数的解是唯一的，称之为极小范数最小二乘解，或最佳逼近解.（一）相容方程组的通解为线性方程组的解的充分必要条件是我们已知相容，其中定理对于任意，都存在，使定理说明，对于任意的是线性方程组的一个特解。给定一个线性方程组广义逆矩阵与线性方程组的求解有着密切关系。利用减号逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆以及加号逆可以给出上述诸问题的解。定理齐次线性方程组的通解是证明:对于任意向量，成立其中是任意向量。即是齐次

3、线性方程组的解。设X0是齐次线性方程组的任一解，则因此，是齐次线性方程组的通解。推论相容线性方程组的通解为其中是任意向量。例1、求解将方程组改写为矩阵形式其中由于所以该方程组是相容的。首先求得A的一个减号逆。由A是行满秩矩阵，则从而原方程组的通解为其中为任意向量。定义相容线性方程组的所有解中2范数最小的解称为方程组的最小范数解，记为（二）相容方程组的最小范数解定理相容线性方程组的最小范数解是唯一的，并且可表示为其中是A的最小范数广义逆。证明：是方程的通解。设为的一个特解为方程组的极小范数解。唯一性为方程组的极小范数解。例2、求方程组的最小范数解。

4、由于A为行满秩矩阵，因此为满秩方阵，则有取从而此解即是中欧氏范数最小的一个一个线性方程组是矛盾方程组或不相容方程组，它没有通常意义下的解，但可以寻求该方程组在某种含义下的近似解。（三）不相容方程组的最小二乘解定义不相容方程组的最小二乘解定义为满足下列条件的近似解说明：和其它任何近似解相比较，所导致的误差平方和最小。矛盾方程组的最小二乘解导致的误差平方和是唯一的，但最小二乘解不一定唯一。定理：设是一个最小二乘解，则矛盾方程组的最小二乘解的通解为其中y为任意向量定理设，则是不相容方程组的最小二乘解的充分必要条件是例3、求矛盾方程组的最小二乘解系数矩阵

5、A和向量b为由A为列满秩矩阵，则可求得A的一个最小二乘逆为：于是，求得一个最小二乘解为通解为定理不相容方程组的最佳逼近解是唯一的，并且定义不相容方程组的最佳逼近解定义为满足下列条件的最小二乘解，记为（四）不相容方程组的最佳逼近解可以看出不相容方程组的最佳逼近解是方程组的所有最小二乘解中范数最小的近似解。其中是方程组的最小二乘解的集合。说明：由于加号逆既是减号逆又是最小范数逆、最小二乘逆，故对于方程组，不论其是否有解，均可用加号逆表示设y为任意向量,则：1·相容时，是通解；是最小范数解2·不相容时，是最小二乘解的通解；是最小二乘解；3·是矛盾方程组

6、的最佳逼近解；例4、求的最佳逼近解。解:首先求A的广义逆，对A进行满秩分解其中则由则最佳逼近解为则A的加号逆为：