1.4-线性方程组的求解.ppt

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1、第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解9.29第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解二.高斯(Gauss)消元法公元前1世纪,《九章算术》:初等行变换相当于高斯消元法(高斯-若当方法)Gauss[德](1777~1855)Jordan[法](1838~1922)第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………………as1x1+as2x2+…+asnxn=bs相容,不相容,解集合,同

2、解.第一章行列式和线性方程组的求解2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1+2x26x3=2x1+2x2x3=32x13x2+4x3=4x1+x23x3=1x1+2x2x3=3x2+2x3=2x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=20=01/21§1.4线性方程组的求解对换变换倍乘变换倍加变换阶梯形方程组例问题：在这几种变换下，变换前后的线性方程组是否同解？第一章行列式和线性方程组的求解2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1

3、+2x26x3=2x1+2x2x3=32x13x2+4x3=4x1+x23x3=1x1+2x2x3=3x2+2x3=2x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=20=01/21234412132262轻装上阵1213234411311/21213012201222(1)1213012200001§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解x1+2x2x3=3x2+2x3=20=0(2)12130

4、1220000x15x3=1x2+2x3=20=0(2)105101220000x1=5c+1x2=2c2x3=c其中c为任意实数.Gauss-Jordanreduction§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解三.矩阵及其初等行变换J.J.Sylvester[英](1814.9.3~1897.3.15)A.Cayley[英](1821.8.16~1895.1.26)第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解1.sn矩阵a11a12…a1na21a2

5、2…a2n…………as1as2…asn注:今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵.元素都是实数——实矩阵元素都是复数——复矩阵行列元素aij(1is,1jn)第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………………as1x1+as2x2+…+asnxn=bs2.——系数矩阵——增广矩阵(A,b)=a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2……………as1as2…asnbsa11a12…a1na21a22…

6、a2n…………as1as2…asnA=第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解3.矩阵的初等行变换(1)对换变换:rirj,(2)倍乘变换:rik,其中k0,(3)倍加变换:ri+krj.第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解4.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵A中非零行的数目为A的阶梯数.1100401022000230000411204013220002300000,行阶梯形注意不是阶梯形矩阵!11004010220202300004第一章行列式和线性方程组的求解§1.4

7、线性方程组的求解则称A为行最简形.如果阶梯阵A还满足如下条件各非零首元全为1,非零行首元所在列的其余元素全为0,10201013020001000000注:用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵.例如x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=30=0有唯一解有无数解212802110015121120014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r(A)=r(A,b)=3r(A)=r(A,b)<42x1+3x2

8、x3=12x2+x3=20=1无解234102120001r(A)r(A,b)四.阶梯阵的形状与线性方程组的解线性方程组有解判别定理定理.设ARmn,bRm,r1=r(A),r2=r(A,b),则(1)当r2=r1+1时,Ax=b无解;(2)当r2=r1=n时,Ax=b有唯一解