拉丁超立方抽样.pdf

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1、拉丁超立方抽样从蒙特卡罗误差估计中，我们可以看到，大多数1统计量的估计值的敛散性都与有关。特别的，对N于均值的估计量，我们发现：⎛⎞σσxxPx⎜⎟−≤2−μ≤=20.95x⎝⎠NN1而问题在于是否能被改善。值得注意的是蒙特卡N罗方法的一个主要优点就是他的敛散性依赖于独立的随机参数个数，而接下来我们将要看到的是一种完全不同的抽样方式：拉丁超立方抽样（LHS）。但首先，我们要先了解一下分层抽样的相关内容。分层抽样我们考虑一维的单个变量输入问题：yf=()x，x是一个随机变量。分层抽样通过如下的步骤来进行：1)定义参与计算机运行的抽样

2、数目N；2)将x等概率地分成若干个区域——“bin”,xxxxxx<<

3、−1≤≤xi）等式右边第一项同蒙特卡罗方法的标准误差一样，第二项为附加项，它使方差变小。所以，较之基于随机抽样的蒙特卡罗方法，分层抽样降低了误差的方差。多维分层抽样对于有多个随机变量的输入，分层抽样需要将输入的样本空间等概率地化为N个区域,而这操作起来是很困难的。（注意：仅仅在每一维上等概划分是不行的）考虑一个二维的情形：2bins2bins假设x，x是均匀分布的（即二向同性的），则有：12N=×=224bins对于一般N个bins,考虑一个d维输入问题，我们发b现有：dNN=()b举个例子，对于8维输入且每维上有2个bins,8

4、N==2256bins或者，每维有3个bins，8N==36561bins显然，抽样数目随着每维bins的数目的增加而迅速增加。拉丁超立方抽样拉丁超立方抽样是另一种多维分层抽样方法，下面我们介绍它的工作原理：1)定义参与计算机运行的抽样数目N；2)把每一次输入等概率地分成N列，xxxxx<<

5、至于估计均值，通常的做法是：1Nny=∑f()xNn=1一般情况下，这种估计的标准误差不能认为是对标准蒙特卡洛抽样方法的改进。但实际上，拉丁超立方抽样对均值和方差的估计和蒙特卡罗方法相比，在效果上至少是一样的，且常常会显著改善。问题：因为拉丁超立方抽样标准误差的理论估计并不是“贴紧”的，（例如：实际的均值远好于由误差估计得到的值），边界必然是很悲观的。尽管一般来讲误差估计对于拉丁超立方抽样不是很理想，但有个特别的例子表明拉丁超立方抽样较之蒙特卡罗方法有潜在的改进。我们来看看这个例子：d假设y是关于输入变量的线性函数ya=∑iix，

6、分别利i=1用蒙特卡罗抽样和拉丁超立方抽样方法，再对均值进1N行估计，结果都是：ny=∑f()xNn=1而标准误差分别是：d⎡⎤−=21122=2MC：Ey⎢⎥⎣⎦()μyiNN∑aσσxiyi=1d⎡⎤−=21122=2LHS：Ey()μyi33∑aσσxy⎢⎥⎣⎦NNii=1拉丁超立方抽样的标准误差1⇒=2蒙特卡洛抽样的标准误差N我们可以看到，拉丁超立方抽样对样本数量的节省非常显著。因此，对于输出结果能用一个线性函数很好的逼近的情况下，我们认为拉丁超立方抽样比蒙特卡洛抽样更好。