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1、第五节平面及其方程平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角点到平面的距离如果一非零向量垂直于法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量.已知设平面上的任一点为必有一、平面的点法式方程一块平面可以有许多法向量.一平面,这向量就叫做该平面的法线向量(法向量).则平面唯一确定，求其方程.平面的点法式方程例如过点(2,-3,0),且以向量(1,-2,3)为法线向量的平面方程为？平面上的点满足方程,不在平面上的点不满足方程.解取平面方程为化简得平面的点法式方程例注：已知平面内两个向量，可用外积确定其法向量.平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程任意一个形如上式的x、y、z的三元一次方
2、程都是平面方程.平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于xOy坐标面；类似地可讨论类似地可讨论轴轴xOz面yOz面平面的一般方程设平面为将三点坐标代入得解例设平面与x,y,z三轴分别交于求此平面方程.平面的截距式方程当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.化为截距式方程,平面的截距式方程用待定常数法.设平面过点及x轴,求其方程.即法一设平面方程是从而平面方程是即从而平面方程是得点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,练习设平面过点及x轴,求其方程.用平面的点法式方程.由点法式方程得平面方程:求法向量练习法二即求平面方程常用两种方法
3、:利用条件定出其中的待定的常数,此方法也称待定常数法.主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程.定义（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角两平面的夹角.按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//两平面垂直、平行的充要条件取锐角例研究以下各组里两平面的位置关系:解两平面相交,夹角两平面平行但不重合.解两平面平行两平面平行两平面重合解设平面为所求平面方程为解例与平面垂直且过原点及点的平面方程为().),,(CBA=与平面垂直且过原点及点的平面方程为().解∥平面的点法式方程取法向量化简得平面方程为解
4、∥.例求过点(1,1,1)且与平面和平面都垂直的平面方程.外一点,四、点到平面的距离并作向量即由于的距离公式为填空解两平行平面与间距离为(),其的方程分别为:(A)1(B)(C)2(D)21A选择题讨论如何确定平面的法向量?(1)如果已知点M0(x0,y0,z0)在平面Π上的垂足为M1(x1,y1,z1),则(2)如果平面Π与已知平面平行,则(3)如果平面Π过三点A,B,C,则确定平面的法向量是建立平面方程的关键所在,平面法向量的确定要根据不同的条件采用不同的方法.
