题型五 立体几何中的空间角问题.doc

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1、题型五　立体几何中的空间角问题1.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．2．(2011·湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是AB的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B—PA—C的余弦值．答案1．(1)证明　设AD＝DE＝2AB＝2a，以A为原点，AC为x轴，AB为z轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0

2、，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．因为F为CD的中点，所以F.＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)．因为＝(＋)，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)证明　因为＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，故·＝0，·＝0，所以⊥，⊥.所以⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.(3)解　设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)．由n·＝0，n·＝0，可得x＋y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－，2)．又＝，设BF和平面BCE所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.所以直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.2．方法一　(1)证明　如图，连接OC，因

3、为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，而AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.(2)解　在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由(1)知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，所以PA⊥OH.在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连结HG，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG，故∠OGH为二面角B—PA—C的平面角．在Rt△ODA中，OD＝OA·sin45°＝.在Rt△POD中，OH＝＝＝.在Rt△POA中，OG＝＝＝.在Rt△OHG中

4、，sin∠OGH＝＝＝.所以cos∠OGH＝＝＝.故二面角B—PA—C的余弦值为.方法二　(1)证明　如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·＝0，n·＝0，得所以z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·＝0，n2·＝0，得所以x2＝－z2，y2＝z2.取z2＝1，得n2＝(－，，1)．因为n1·n2＝(1,

5、1,0)·(－，，1)＝0，所以n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC.(2)解　因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－，，1)．设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.由图可知，二面角B—PA—C的平面角与θ相等，所以二面角B—PA—C的余弦值为.