立体几何中的向量方法(空间角与距离问题)

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1、3.2立体几何中的向量方法——夹角问题学习目标：理解、掌握向量夹角与线线角、线面角、二面角之间的大小关系；学习重难点：利用向量夹角的三角关系求线线角、线面角、二面角。一.线线角：lmlm若两直线所成的角为,则例题1：教材P96例题5二.线面角：l设直线l的方向向量为，平面的法向量为，且直线与平面所成的角为，则①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．三、二面角：注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。将二面角转化为二面角的两个面

2、的法向量的夹角。如图，向量，则二面角的大小=<>或者②法向量法三、二面角：L二面角大小与其法向量夹角的大小关系。若二面角的大小为,则最后再依据个人判断，确定二面角的大小，最后确定cos的符号。向量法：？？？几何法：知识小结：利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：建立坐标系找点坐标求法向量坐标求两法向量夹角定值1.若几何体中含有两两垂直的三条直线，一般要考虑建立空间直角坐标系，借用

3、空间向量求空间角．恰当建系，准确写出相关点或向量的坐标是解题的关键．2．求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．空间向量---利用空间向量求距离学习目标：理解、掌握空间一点到面的距离公式学习重难点：空间距离的理解。几种常考的空间距离——转化为点到面的距离点到平面的距离：平行线面间的距离两平行平面间的距离两异面直线间的距离转化转化转化探究：如何用向量法求点到平面的距离从数量积的角度看：例题1、在边长为1的正

4、方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求点A与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz一、点到面的距离：可以选择点B作为平面内一点，请大家尝试分别选取点D、E、F，计算点A与平面EFDB的距离变式1、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求直线AM到平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz二、线到面的距离：转化为直线上任意一点到平面的距离变式2、

5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz转化为一个平面内任意一点到另一平面的距离三、面到面的距离：变式3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求直线AM与直线EF的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz四、异面直线的距离：过一条直线做平面与另一直线平行，转化为直线上任意一点到平面的距离解：建

6、立空间直角坐标系如图所示，(1)∵PA＝AB＝BC＝2AD＝1，∴P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．