独立随机变量和的分布.pdf

《独立随机变量和的分布.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十周独立随机变量和的分布与顺序统计量10.1.独立随机变量和的分布泊松分布和二项分布的可加性若XP~，XP~,,XP~，且XX,,,X相互独立，1122mm12m则XXXP~1212mmXBnp11~,，XPnp22~,,,XPnmm~,p，且XX12,,,Xm相互独立，则XXXBnnnp~,1212mm回顾一下，第7周第3讲的最后，我们曾经介绍过泊松分布和二项分布的可加性。本节我们更一般地考虑独立随机变量和的分布，并引入卷积公式。下一周课我们要介绍大数定律和中心极限定理等概率

2、论的极限理论，在极限理论的研究中，经常需要考虑独立随机变量和的分布问题。本节中，我们主要讨论两个独立随机变量的和的分布问题。**********************************************************相互独立的离散型随机变量和的分布离散型随机变量X和Y相互独立，分布律分别为PX(),()xxX和PY(y),yY()，iiijZXY也是一个离散型随机变量，其值域Z(){xy:xX(),yY()}，对所有的zZ()有ijijkPZ(zkk)PXY(z)PX(,

3、)xYzikxixXi()PX()(xPY)ikizxxXi()或互换X和Y的位置，得到PZ(zk)PX(zkyPYj)(yj).yYj()**********************************************************例10.1.1两位射手各向自己的靶子独立射击，直到自己有一次命中时，停止射击。假设两位射手每次命中概率分别为p和p。求两射手均停止射击时，他们12脱靶（未命中）总数的分布。解：记X和X分别为两位射手首次命中自己的靶子时所射击的次数，12则XGep11~()，XG

4、ep22~()，且XX12,相互独立。记X为两射手均停止射击时的脱靶总数，则X(X121)(X1)，对n0,1,2,n1PX()(2)nPXXn12PX(,2)kX12nkk1n1PX()(2k12)PXnkk1n1n1qn1pqpqknk11pnk11nk11122ppq122()pp122p(1)()k1k1q2k01p2当pp时，pp12nn1112PX(n)(1p21)(1p)pp122n当pp时，PX()(nn1)

5、pp(1)1211**********************************************************卷积公式相互独立的连续型随机变量X、Y的概率密度函数分别为fx()和fy()，XY则ZXY的概率密度函数为f()zf()xfz(xdx)f(zyf)()ydy。ZXYXY这一公式的证明需要二重积分，这里略去。本课程中我们就不加证明地使用这一公式。**********************************************************n例10.1.2设随

6、机变量XX12,,,Xn独立同分布，且XExp1~()，记SXni，i1求S的分布。n解：先计算SXX。当z0时，fz()0；当z0时，利用卷积公式，212S2zzxzx()2z2zfzfx()fzxdx()()eedxedxze。SX21X200再计算SSX，当z0时，fz()0；当z0时，对S和X再使用卷积323S323公式，fzfxf()()zxdx()S3X1X23Xzz12332xzxzz()xeedxx

7、edxze002nnz1zen,,z0最后，可以归纳证明，SXni的概率密度函数为fzS()()!n1ni100,.z直接用卷积公式来计算多个独立随机变量的和的分布往往是非常繁琐的，数学家引入了矩母函数和特征函数等工具简化计算，而理解和应用这些工具，还需要多元积分、复变函数等更多的数学知识。**********************************************************