利用Gamma函数求积分的几种形式.pdf

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1、第１６卷第１期高等数学研究Ｖｏｌ．１６，Ｎｏ．１２０１３年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＪａｎ．，２０１３利用Ｇａｍｍａ函数求积分的几种形式耿彦如（邢台学院数学系，河北邢台０５４００１）摘要借助幂函数与对数函数的变量替换对Ｇａｍｍａ函数从形式上加以推广，使Ｇａｍｍａ函数中指数函数部分为指数函数与幂函数或对数函数与幂函数的复合函数时仍可求值，以扩大Ｇａｍｍａ函数的使用范围．关键词Ｅｕｌｅｒ积分；Ｇａｍｍａ函数；积分计算中图分类号Ｏ１７４．６６文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１３）０１－００３６－０２０Ｇａｍｍａ函数是Ｅｕｌｅｒ积分

2、的一种形式，是以含ｓｎｓ－１－ｐｙｎΓ（ｓ）＝ｎｐｙｅｄｙ＝参量非正常积分表示的一种非初等函数［１］，记为∫＋∞＋∞ｎ＋∞ｓｎｓ－１－ｐｙｓ－１－ｘ－ｎｐｙｅｄｙ，Γ（ｓ）＝ｘｅｄｘ（ｓ＞０）．∫０∫０＋∞ｎｎｓ－１－ｐｙＧａｍｍａ函数Γ（ｓ）连续、可导，且满足ｙｅｄｙ＝∫０Γ（ｓ＋１）＝ｓΓ（ｓ），１１－ｓΓ（ｓ）＝ｓΓ（ｓ）．Γ（１）＝１，Γ（１）＝槡π．ｎｐ｜ｎ｜ｐ２当ｓ＝ｍ（ｍ∈瓔＊）时，根据Ｇａｍｍａ函数的性一些非正常积分通过变量变换可转化为Ｇａｍｍａ函２数，且当ｓ＝ｍ（ｍ∈瓔＊）时，其值一定可求出［１］．质，一定可解２＋∞ｍｎ－１ｎ１ｍ２－ｐｙ）．ｙｅｄｙ

3、＝ｍΓ（Γ（ｓ）形式单一使用范围较窄．本文计划通过变量代∫０２２｜ｎ｜ｐ换对Γ（ｓ）在形式上加以推广，以扩大其应用范围．＋∞７３－２ｙ例１ｙ２ｅｄｙ＝定理１若ｐ＞０，ｍ∈瓔＊，则有∫０＋∞ｍｎ－２ｎ＋∞３×３－２３１３２－ｐｙ１ｍ）．ｙ２ｅ－２ｙｄｙ＝Γ（）＝ｙｅｄｙ＝ｍΓ（３∫０｜ｎ｜ｐ２２∫０３×２２２证明不妨令槡２１１）＝槡２π×Γ（．ｘ＝ｐｙｎ，ｐ＞０，ｎ＞０，１２２２２４那么分别取ｎ＝２，ｎ＝４，ｎ＝－２，ｎ＝－４，则由定＋∞理１可得以下推论．ｎｓ－１ｍｓ－ｎ－ｐｙｎ－１Г（ｓ）＝ｐｙｅｐｎｙｄｙ＝＊∫０推论１当ｐ＞０，ｍ∈瓔时，有＋∞ｎ＋∞２ｎｐｓｙｎｓ－

4、１ｅ－ｐｙｄｙ，ｍ－ｐｙ１ｍ＋１），ｙｅｄｙ＝ｍ＋１Γ（∫０∫０２ｐ２２所以＋∞２ｍ－１－ｐｙ４１ｍ＋∞ｎ１１ｙｅｄｙ＝ｍΓ（），ｎｓ－１－ｐｙ∫０４ｐ２２ｙｅｄｙ＝ｓΓ（ｓ）＝ｓΓ（ｓ）．∫０ｎｐ｜ｎ｜ｐ＋∞－ｍ－１－ｐｙ－２１ｍ若令ｙｅｄｙ＝ｍΓ（），∫０２ｐ２２ｎ，ｐ＞０，ｎ＜０，ｘ＝ｐｙ＋∞－２ｍ－１－ｐｙ－４１ｍ那么ｙｅｄｙ＝ｍΓ（），∫０４ｐ２２ｘ→０（ｙ→＋∞），ｘ→＋∞（ｙ→０），＋∞４例２７－２ｙ所以ｙｅｄｙ＝∫０１１１２Γ（２）＝Γ（１）＝，收稿日期：２０１０－０７－０７；修改日期：２０１２－０７－０４４×２１６１６作者简介：耿彦如（１９６５－），

5、男，河北宁晋人，硕士，副教授，从事函数＋∞－２１１π－２－４ｙ）＝槡ｙｅｄｙ＝１Γ（．论及教学法研究．Ｅｍａｉｌ：ｘｔｇｙｒ＠１６３．ｃｏｍ∫０２×４２２４第１６卷第１期耿彦如：利用Ｇａｍｍａ函数求积分的几种形式３７１（ｌｎｚ）ｓ－１令ｍｎ－２＝０，即取ｎ＝２，则由定理１可得以－（－ｐ）ｓｄｚ（ｓ∈瓔＊）－ｐ＋１ｍ∫０ｚ下推论．再令ｑ＝（－ｐ）＋１，ｓ－１＝ｍ（ｍ∈瓔），由上式可推论２当ｐ＞０，ｎ＞０，ｍ∈瓔＊时，有得推论３成立．＋∞２１－ｐｙｍｍｍ）．例５（ｌｎｙ）２３ｅｄｙ＝ｍΓ（ｙｄｙ＝∫０２ｐ２２∫０＋∞－１１例３ｅ－３槡ｙｄｙ＝（－４）３Γ（３）＝．３２∫０

6、由推论３及对数的换底公式易得以下推论．４２２Γ（２）＝．２×３９推论４当ｑ＜１，ｍ∈瓔，ａ＞０，ａ≠１时，有定理２当ｑ＞１，ｍ∈瓕且ｍ＞－２时，有１（ｌｏｇ）ｍａｙ－１ｍｑｄｙ＝（ｑ－１）ｍ＋１（ｌｎａ）ｍΓ（ｍ＋１）．＋∞（ｌｎｙ）２∫０ｙ１ｍ＋２ｑｄｙ＝ｍ＋２Γ（）．利用对数的换底公式及定理２可得以下推论．∫１ｙ（ｑ－１）２２推论５当ｑ＞１，ｍ∈瓕且ｍ＞－２，ａ＞１时，有证明不妨令ｘ＝ｐｌｎｙ（ｐ＞０），那么ｍ＋∞＋∞（ｌｏｇ）２（ｐｌｎｙ）ｓ－１ｅ－ｐｌｎｙ１ｄｙ＝ａｙｄｙ＝Γ（ｓ）＝ｐｑ∫１ｙ∫１ｙ＋∞（ｌｎｙ）ｓ－１ｐｓｄｙ＝１Γ（ｍ＋２）．ｐ＋１ｍ＋２ｍ∫

7、１ｙ（ｑ－１）２（ｌｎａ）２２＋∞（ｌｎｙ）ｓ－１１３ｄｙ＝＋∞（ｌｏｇ１ｙ）ｐ＋１ｓΓ（ｓ）．例６２ｄｙ＝∫１ｙｐ２∫１ｙ再令ｐ＋１＝ｑ（ｑ＞１），ｓ－１＝ｍ（ｍ＞－２），即＋∞ｌｏｇ２ｙ）３－１－６２２ｄｙ＝（ｌｎ２）３Γ（４）＝（ｌｎ２）３．∫１ｙ得定理成立．在定理２中取ｍ＝２ｋ（ｋ∈瓔），ｑ＞１，并利用对１＋∞（ｌｎｙ）２例４ｄｙ＝数的换底公式，可得如下推论．３∫１ｙ推论６当ｑ＞１，ｍ∈瓔，０＜ａ＜１时，有１３２１１槡２π＋∞（ｌｏｇ）ｍ３Γ（）＝槡×Γ（）＝．ａｙｄｙ＝１２２２４２２８ｑ（ｑ－１）ｍ＋１（ｌｎａ）ｍΓ（ｍ＋１）．∫１ｙ推论３