求二次函数最值的几种形式.doc

《求二次函数最值的几种形式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、求二次函数最值的几种形式永州市第五中学何杰二次函数模型是重要的函数模型，在人教版高中《数学》必修②中占了大量的篇幡，详尽介绍了二次函数的性质及应用，特别是二次函数的最值问题是近年来高考命题的一个热点问题，而求二次函数的最值归纳起来主要有三种形式：（1）轴定区间定;（2）轴定区间动，（3）轴动区间定，一般来说，讨论二次函数在区间上的最值，主要看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而用相应的单调性来求最值。下面就新教材，通过例子具体谈一谈二次函数最值的几种形式的探求方法。1轴定区间定由于这种类型的二次函数的对称轴是固定的，区间也是固定的，因而求它的最值，只要直接应

2、用单调性求出最值即可。例1（2002年高考数学上海卷）。（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数的取值范围，使在区间[－5，5]上是单调函数。解：（1）当时，，由于对称轴为，区间为[－5，5]，而当1≤≤5时，是单调递增的；当-5≤≤1时，是单调递增的，所以[]＝。（2），所以对称轴为，由数形结合易知，当-≥5，即≤-5时，在区间[-5,5]上单调递减；当-≤-5，即≥5时，在区间[-5,5]上单调递增。综上可知，当≤-5时，在区间[-5,5]上单调递减；当≥5时，在区间[-5,5]上单调递增。注：这种类型的最值的求解一般比较简单，只要注意在区间上的单调性

3、即可。2轴定区间动由于这种形式的对称轴是固定的，而区间是变动的，因而求它的最值必须要进行分类讨论才能得出结果。例2已知函数的最小值为,写出的表达式。分析：所求二次函数解析式固定，区间变动，可考虑区间在变动过程中二次函数的单调性，从而利用二次函数的单调性求出此函数在区间上的最值。解：，所以对称轴为固定，而区间[t,t+1]是变动的，因此有（1）当t+1≤－，即t≤－时，h(t)=f(t+1)=;（2）当＞－时，;（3）当t≤－＜t+1，即－＜≤－时，。，综上可知=－，。注：注意分类讨论思想（不重不漏）在解题中的应用。3轴动区间定这种形式的二次函数对称轴是变动的，面区

4、间是固定的，要求其最值，需要讨论对称轴在区间端点之间、端点之外时的各种情况才能确定。例3若的最小值为g()。（1）求g()的表达式；（2）求能使g()=的值，并求出当取此值时，的最大值。分析：这是一个定区间，动对称轴的最值问题，要求它的最值要由定区间看动轴的不同变化，再由函数单调性求出最值。解：（1），令，所以对称轴是变动的，而是定区间，于是有当＜－1，即＜－2时，；当－1≤≤1，即－2≤≤2时，时取得最小值，即；当＞1，即＞2时，。1－4（＞2），综上所述，g()=1(＜－2）（2）当g()=，即1－4=或－－2－1=时，由于1－4=得=，显然不合题意，故只有－

5、2－1=，即=－3（舍去）或=－1，因为—2≤≤2才符合题意，所以当g()=时，=－1，所以，因此，当。注：求此类问题的最值时要注意分类讨论思想的应用，同时要注意区间的隐含范围。例4已知≤≤1，若函数在区间[1,3]上的最大值为M（），最小值为N（），令g()=M（）－N（）。（1）求g()的表达方式；（2）判断函数g()的单调性，并求出g()的最小值。解：（1）。当1≤≤2，即≤≤1时，M（）=f(1)=9－5,N（）=[，∴g()=M（）－N（）=+＜综上可知g()=9+≤≤1）（2）当＜≤＜0，∴g()在区间[]上单调递减，最小值是g(≤＜≤1时，g()－g

6、()=()＞0，∴g()在区间[，1]上单调递增，最小值是g()=。注：利用对称轴的可变性求最值时，一定要时刻关注对称轴在区间上的变化。4最值在其他方面的应用利用二次函数在指定区间上取得最值，可以求函数的表达式以及参数的取值及取值范围。例5已知函数g()=是二次函数，当且函数的表达式。解：设为奇函数。∴∴，∴对称轴为且，所以分三种情况进行讨论。（1）当,∴。（2）当应最小，∴=1不合题意。（3）当3－，。综上可知。例6已知函数在区间[－，2]上的最大值为1，求实数的值。分析：由题知上的最大值为1，可能在—、2和顶点处取得，因而要求的值就必须进行讨论。（1）令＜0，

7、=1不合题意。（2）令＞0，且距右端点2较远，∴最大符合题意。（3）令，验证后只有才适合。综上可知。注：利用二次函数的最值确定参数的取值，一定要注意取得最值时的位置，并要加以验证才可以，当然还可以利用它进行一些探究性研究等。