两招搞定简单多面体外接球问题.pdf

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1、两招搞定简单多面体外接球问题■舒飞跃近年来，高考题中常常出现简单多面体外接球问题，此类例2(2009年高考题改编)直三棱柱ABC－A1B1C1的各问题能有效考查学生的空间想象能力，它自然受到命题者的青顶点都在同一球面上，若AB=AA1=4，AC=槡3，∠BAC=30°，睐．简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心则此球的表面积等于．的位置问题，解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心解:如图3，设三角形ABC和A1B1C1的外与球半径，下面笔者就这一问题谈一谈自已的想法，供参考．心分别为O1、O2，连结O1O2，OA，O

2、1A，取O1O2一、深入理解球的定义，转化为常见结论，准确定位球心的中点为O，则O点到直棱柱ABC－A1B1C1各在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的顶点的距离相等．即球心为O，由余弦定理知，距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．BC2=AB2+AC2－2AB·AC·cos∠BAC=7，由上面的性质，可以得到下列简单多面体外接球的球心的所以BC=槡7，设△ABC外接圆的半径为r，则如下结论．图3结论1:n棱锥有外接球的球心在过底面多边形外接圆的由正弦定理，得2r=槡7=2槡21，所以rsin∠BAC3圆

3、心且垂直于底面的直线上，具体的位置通过计算后准确=槡21．找到．3结论2:n棱台有外接球的球心是在上、下底面多边形的外22在Ｒt△AOO1中，外接球的半径Ｒ=AO=槡AO1+OO1=接圆的圆心的连线的直线上，具体位置可通过计算准确找到．1321352π．所以S=4πＲ=4π·=．结论3:n直棱柱有外接球的球心是在上、下底面多边形的槡3球33外接圆的圆心的连线的中点．点评:直三棱柱外接球的球心可以用正弦定理先求出三角(特别地，正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线形的外接圆的半径，再利用勾股定计算出球心的位置．中点．)二、发现简单多

4、面体的结构特征，补形成长方体或正方体例1一个几何体的三视准确定位球心图如图1所示，其中正视图是正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线中点．以下一个正三角形，则这个几何体是常见几何体补成正方体或长方体的思考途径．的外接球的表面积为．途径1:求对棱相等的四面体中的空间角、线段长、四面体解:由三视图作出原几何与球的合体问题，可以补形成正方体或长方体(对棱相等且六体是三棱锥A－BCD，如图2所条棱不全等的四面体补形为长方体，六棱全等四面体补形为正示，平面ABD⊥平面BCD，取方体)，再利用向量或它们的几何性质很容易完成解答．BD的中点为O

5、1，连结AO1，途径2:共顶点三棱相互垂直且长度不相等四面体可补形CO1，因△ABD边长为4的正三图1为长方体解决．角形，△BCD是等腰直角三角途径3:注意解题时，利用线线垂直、线面垂直转化为四个形，且BC=CD=22槡，∠BCD=90°，面都是直角三角形从而使问题得到求解．有AO1⊥平面BCD，则球心O在线段AO1上，连结BO．设外接球的半径为Ｒ，222在Ｒt△BOO1中，因BO=OO1+BO1，Ｒ2=22+(23槡－Ｒ)2，解得Ｒ=43槡，所3264π以S球=4πＲ=3．图2图4图5途径4:长方体中得到图4形状的四面体只满足有三

6、个面是点评:因为三棱锥的底面是一个直角三角形，外接圆的圆心正好是直角三角形斜边上的中点．这里对我们找外接球的球心提供了一些思考．·18·一道高中数学联赛题的解法探究■陈健22三角函数的最值问题是三角函数性质中的重要内容，是每直线的斜率公式，又由隐含条件sinθ+cosθ=1联想到单位年高考和高中数学联赛中的热点，它的解题方法也具有灵活性圆，进而以形助数．和多样性．本文以一道联赛题为例，介绍十种解法，供大家参考．4－sinx解法3:(数形结合法)不妨将y=转化为求k=3－cosx4－sinx题目:函数y=的最大值为．3－cosx4－s

7、inθx=cosθ4－y的最大值，令{，则k=，整理得:kx－y+4－sinx3－cosθy=sinθ3－x解法1:(利用三角函数的有界性)因为y=，化简3－cosx4－3k=0．得到:sinx－ycosx=4－3y，因此点M(x，y)在直线kx－y+4－3k=0上，同时又在单4－3y22所以sin(x－φ)=，由正弦函数的有界性知:位圆x+y=1上，因为直线与圆有公共点，得到d≤r，即2槡1+y

8、4－3k

9、≤1．4－3y2

10、

11、≤1．槡1+k2槡1+y6－槡66+槡66+槡66－槡66+槡66+槡6解得:4≤k≤4，故函数y的最大值

12、为4．解得:≤y≤，故函数y的最大值为．444点评:同样进行换元后，利用直线与圆有公共点的充要条点评:从外观上观察，属于三角函数，化为一个角的三角函件d≤r，同样利用数形结合的数学思想．数，利用正弦函数的有界性，这是解决此类问题常见的