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1、确定简单多面体外接球球心策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径R或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心，下面作一些归纳、总结.1由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.结论2正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3
2、直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.结论4正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到.结论5若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.例1（2012年高考辽宁卷・文16）已知点P,A,B,C,D是球0表面上的点，PA丄平面ABCD,四边形ABCD是边长为23的正方形.若PA=26,则ZX0AB的面积为.图1解析因为外接球球心满足到各个顶点距离相等，直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等，故可知PC的中点即为球心0•如图1,在RtAPAC中
3、，AC=26,PC=43,故R=23.球心满足0A=0B=R=23,故AOAB为等边三角形，所以其面积S=33.评注（1）球心满足到各个顶点距离相等，故球心常常在某直角三角形的斜边中点处.另外，因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，故一个球中多个过截面圆圆心的垂线的交点必为球心.（2）此题还可以通过构造长方体找到球心，并获解.例2（2010年高考全国I新课标卷・理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）.A.na2B.73Jia2C.113na2D.
4、5na2图2解析设01,02分别是正三角形A1B1C1和正三角形ABC的中心，又三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱，所以其外接球的球心0是0102的中点，如图2,于是其外接球的半径为R=0022+A022=(a2)2+(23AD)2=(a2)2+(23X32a)2=7a212,所以球的表面积为4n-R2=73Jia2,故选B・评注（1）正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心的连线的中点.（2）直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.2构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接
5、球的球心是在其体对角线的中点处•以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.途径1正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.途径2同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.途径3若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.途径4若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.例3（2012年高考辽宁卷•理16）已知正三棱锥P—ABC，点P,A,B,C都在半径为3的球面上•若
6、PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为・图3解析因为PA,PB,PC两两互相垂直，故正三棱锥P—ABC的外接球即是以PA,PB,PC为棱的正方体的外接球，球心是在其体对角线的交点处，如图3,易证0P丄平面ABC,所以球心0到截面ABC的距离即为球半径R减去正三棱锥P—ABC的高.设PA=a,贝H(2R)2=3a2,所以a=2.设正三棱锥P—ABC的高为h,则VA—PBC=VP—ABC,即13X12a2•a=13X34(22)2h,解得h=233,故球心到截面ABC的距离为3-233
7、=33.评注(1)易知三棱锥o—ABC是正三棱锥，求出其高即为所求.(2)构造正方体并找到球心是破解此题的关键.3由性质确定球心利用球心0与截面圆圆心01的连线垂直于截面圆及球心0与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.例4三棱锥S—ABC中，SA丄平面ABC,SA=2,AABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为.图4解析设01是AABC的外心，如图4,则01A=01B=01C.过点01作平面ABC的垂线001,由此可知直线001上任意一点与A,B,C的距离相等，故三棱锥s—ABC的外接球的
8、球心在直线001上，又要使0A=0S,则0在线段SA的垂直平分线DO上，从而三棱锥S—ABC的外接球的球心是直线010与DO的交点.D0=A01=23AE=33,在RtAAOD中，A02=AD2+D02=43,于是S球表=4“•A02=163n・评注(1)一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心且垂直于这个面的直线上.(2)此题也可以通过构造正三棱柱来解答，其球心是两底面三角形中心的连线的中点.
