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1、陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案§2.3矩阵的加法与数乘运算本节内容主要介绍矩阵加法的定义并着重讲解矩阵加法的背景，也就是要说明两个矩阵A＝(aij)m´n,B＝(bij)m´n的和A＋B＝(aij＋bij)m´n的道理,介绍数与矩阵乘法教学目的的定义，并重点讲解该定义的背景，也就是说一个数乘一个矩阵时，为什么要把这个数乘在矩阵的每一个元素上教学难点矩阵加法及数与矩阵乘法乘法的背景教学重点矩阵加法及数与矩阵乘法定义教学过程备注一、矩阵加法的概念1、矩阵相等及零矩阵的定义设A＝(aij)，B＝(bij)是两个矩阵，
2、A和B相等的直观意义是A和B完全一样，即A和B有相同的行数，相同的列数，且对应位置的元素相等，更准确地说，A＝(aij)m´n和B＝(bij)k´l相等是指：m＝k,n＝l,aij＝bij,i＝1,2,…,m；j＝1,2,…,n.把所有元素都为零的矩阵叫做零矩阵，记为0m´n，当m和n都清楚时简记为0.显然02´3¹03´2.2、矩阵加法的定义定义1两个m´n矩阵A＝(aij)m´n,B＝(bij)m´n的和A＋B是如下的m´n矩阵：教学æa+ba+bLa+bö11 11 12 12 1 n 1 n ç÷环节ça21
3、+b21 a22 +b22 La2 n +b2 n ÷A＋B＝.ç÷LLLLç÷ç÷a+ba+bLa+bèm1 m1 m2 m2 mn mn ø即A＋B＝(aij)m´n＋(bij)m´n＝(aij＋bij)m´n.由定义可看出，两个矩阵只有当行数相同，列数相同时才能相加.例1设有某种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为A和B：æ3572öæ1320öç÷ç÷A＝ç2043÷,B＝ç2157÷.ç÷ç÷è0123øè0648ø则从各产地运往各销地两次的物资总量为：æ4892öç÷A＋B＝ç4191
4、0÷.ç÷è07611ø设A＝(aij)是m´n矩阵，我们把m´n矩阵(－aij)叫做A的负矩阵，记为－A.有了负矩阵的概念，就可以定义两个m´n矩阵的差.设A＝(aij)m´n，B＝(bij)m´n，则如下定义A－B：A－B＝A＋(－B)一个显然的结论是A－A＝0.3、矩阵的加法运算满足以下的运算规律：(1)A＋B＝B＋A；第1页共3页陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案(2)(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)；(3)A＋0＝A；(4)A＋(－A)＝0.例如我们如下证明等式（1）：设A＝(aij)m´n，B＝(bij)
5、m´n，则A＋B＝(aij＋bij)m´n＝(bij＋aij)m´n＝B＋A二、数乘运算的概念1、数乘运算的定义定义2设A＝(aij)m´n，k是一个数，则把下面的矩阵æka11 ka12 Lka1 n öç÷çka21 ka22 Lka2 n ÷ç÷LLLLç÷ç÷kakaLkaèm1 m2 mn ø叫做k与矩阵A的乘积，记为kA，即k(aij)m´n＝(kaij)m´n.例2设æ327öç÷ç-25-1÷A＝,ç÷67-1ç÷ç÷è01-2ø则æ-6-4-14öç÷ç4-102÷－2A＝.ç÷-12-142ç÷ç÷
6、è0-24ø2、数与矩阵的乘法运算满足以下的运算规律：设A，B是m´n矩阵，k，l是数，则(5)k(A＋B)＝kA＋kB；(6)(k＋l)A＝kA＋lA；(7)(kl)A＝k(lA)；(8)1×A＝A.我们只证明(5)式，其它等式的证明可类似地完成.设A＝(aij)m´n，B＝(bij)m´n，则k(A＋B)＝k(aij＋bij)m´n＝[k(aij＋bij)]m´n＝(kaij＋kbij)m´n＝(kaij)m´n＋(kbij)m´n＝kA＋kB三、矩阵的加法及数与矩阵的乘法联合在一起的运算例3设æ2101öæ-31
7、52öA＝ç÷,B＝ç÷,ç÷ç÷è03-12øè401-3ø求满足3A＋5(B＋2X)＝－2B的矩阵X.由3A＋5(B＋2X)＝－2B可知有5(B＋2X)＝－2B－3A,即5B＋10X＝－2B－3A，所以10X＝－7B－3A.第2页共3页陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案1从而解得X＝(－7B－3A).10将矩阵A,B代入，计算可知1æ15 -10 -35 -17 öX＝ç÷ç÷10è-28 -9 -4 15 øæ2-7-17öç-1÷ç3210÷＝ç÷.ç-14-9-215÷ç÷è510510ø行向量是特殊的矩
8、阵，因此作为矩阵的特例，就得到行向量的加法和数与行向量的乘法：(a1,a2,…,an)＋(b1,b2,…,bn)＝(a1＋b1,a2＋b2,…,an＋bn),k(a1,a2,…,an)＝(ka1,ka2,…,kan).(1)实际上，矩阵运算的这种特例我们在第一章中已经遇到过，那时我们曾用一个数乘行列式的某一行，也曾把行列式的某两个
