大学高等数学ppt课件第五章4二重积分的概念.ppt

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1、二重积分的概念二重积分的引入——曲顶柱体的体积（演示）.求曲顶柱体的体积记用平顶柱体体积作近似替换（1）细分（2）近似替换（3）作和（4）取极限设平面薄片的面密度是：求平面薄片的质量D记二重积分的引入——平面薄片的质量二重积分的概念设函数是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，同时也表示它的面积。在每个小闭区域上任取一点令若无论D如何划分和如何选取，都存在，则称此极限为函数在D上的二重积分，记作：由于二重积分值与分割无关，故在直角坐标系下，通常用平行于坐标轴的直线网分割区域D，从而有即二重积分的概念所以在直角坐

2、标系下，二重积分常表示为引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为平面薄片的质量为二重积分的性质是常数。（D的面积）二重积分可计算平面图形的面积其中：、是的一个完全分割。二重积分的性质使积分中值定理（定性研究）二重积分的估值二重积分的比较oyxzab二重积分的计算——化二重积分为二次积分预备知识：平行截面面积已知的立体体积的计算（演示）A(x)x如右图所示立体：介于平面x=a与x=b之间在区间[a,b]内任取一点x，过该点作x轴的垂直平面，若该平面的面积为A(x)，则由定积分的元素法可知立体体积为如果积分区域D可表示为：aby=y2(x)y=y1(x)

3、oxyХ-型区域用平行于yoz面的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分如果积分区域D可表示为：у-型区域用平行于xoz面的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分oxcdyx=φ2(y)x=φ1(y)直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域D既可表示为Х-型区域：又可表示为у-型区域：则有如下交换积分次序公式：у-型区域Х-型区域例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或记为故或记为解D可表示为：D又可表示为：o44xy=xy2=4xyxy例4化下列二重积分为

4、二次积分（两种次序）或或记为或记为oxy-rrx2+y2=r2例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或或记为或记为再见！返回返回