2013高等数学下试卷及答案 (2).doc

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1、装订线姓名____________学号____________一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为　　　　　　　　　　　　（　　　）Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．２．设，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）Ａ．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．３．下列级数中收敛的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）Ａ．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．４．当时，级数是　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）Ａ．绝对收敛　　Ｂ．条件收敛　　　Ｃ．发散　　　　Ｄ．敛散性不确定５．设函数，，都连续，不恒为零，，，7装

2、订线都是的解，则它必定有解是（　　　）（今年不作要求）Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．得分二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求）２．设有向量，，则＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．３．过点且与平面垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿．４．设，则＝＿＿＿＿＿＿＿．５．设为曲线上从点到点的一线段，则＿＿＿．得分1.5CM三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分）１．求微分方程的通解．２．设，求及．7装订线３．判断级数的敛散性．４．设一矩形的周长为，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数展开成的幂级数，

3、并确定其收敛域．６．设是由方程确定的隐函数，求全微分.７．计算二重积分，其中是由及围成的区域．得分1.5CM四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分）１．计算曲线积分，其中是由曲线和所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分，其中区域由，及所确定．３．设，，，且，试求的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分，其中为上半球面的上侧．（今年不作要求）参考答案7装订线一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．Ｃ　　２．Ｂ　　３．Ｃ　　４．Ａ　　５．Ｂ二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．　　２．　　３．４．　　５．三、计算题（本大题共７小题，每小题

4、６分，共４２分）１．求微分方程的通解．解：．．．．．．．．．．（１分）．．．．．．．．．（５分），即．．．．．．（６分）２．设，求及．解：设，，．．．．．．．．．．（１分）．．．．．．．．．．（３分）．（６分）３．判断级数的敛散性．解：．．．．．．．．．．（３分）．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）7装订线４．设一矩形的周长为，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为．则，假设绕长度为的一边旋转，则圆柱体体积为．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数．．．．．．．．（３分）解方程组．．．．．．．．．

5、．．．．．．．（４分）得可能的极值点．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为，对应面积为．．．．．．．．．．（６分）５．将函数展开成的幂级数，并确定其收敛域．解：因为　　　　．．．．．．．（１分）所以　　　．．．．．．．．．．（３分）（５分）收敛域为．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设是由方程确定的隐函数，求全微分.解：．．．．．．．．（１分）．．．．．．．．．．．（３分）所以．．．．．．．．．（５分）7装订线故．．．．．．．．．．（６分）７．计算二重积分，其中是由及围成的区域．解：积分区域为：．．．．．．．．（１分）．．．．

6、．．．．．．（３分）．．．．．．．．．．．．（５分）．．．．．．．．．（６分）1.5CM四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分）１．计算曲线积分，其中是由曲线和所围成的区域的正向边界曲线．解：．．．．．．（２分）．．．．．．．．（４分）．．．．．．．．（６分）．．．．．．（７分）２．计算二重积分，其中区域由，及所确定．解：．．．．．．．．．．（２分）．．．．．．．．．．．．（４分）．．．．．．（６分）7装订线＝．．．．．．．．．（７分）３．设，，，且，试求的表达式．解：．．．．．．．．（２分）因为，所以令，得．．．．．．（４分）解之得．．．．．（５分）解得．．．．．（６分

7、）即．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分，其中为上半球面的上侧．解：因为在曲面上，所以．．．．．．．．．．（１分）补曲面，取下侧．．．．．．．．．．（２分）由高斯公式得＝．．（４分）7装订线而．．．．．（６分）故＝．．．．．．．（７分）7