动态最优化第8讲 最优控制理论的进一步讨论.pdf

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1、动态最优化方法——第8讲最优控制理论的进一步讨论第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释例子：企业最大化利润1.企业有1个状态变量：资本存量K2.1个控制变量：企业在每时期的商业决策u3.决策选择u影响着资本存量随时间变化的速度：dKft,K,udt4.在初始时间0的资本存量为：K05.利润函数：t,K,u第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释企业的目标：制定决策实现一段时间[0,T]上的利润最大化TMaxΠt,K,udt0dKS.T.ft,K,udtK0KKT自由（K,T给

2、定）00第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释如果状态变量总是服从运动方程：dKft,K,udt则：TdK0tft,K,udtdt0目标泛函（利润最大化函数）等价于：TTdKΠ0t,K,udt0tft,K,udtdtTdK0t,K,utft,K,utdtdt第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释汉密尔顿函数设为：Ht,y,u,t,K,utft,K,u把目标泛函（利润最大化函数）转

3、化为：TdKΠ0t,K,utft,K,utdtdtTTdK0Ht,y,u,dt0tdtdtTTTd0Ht,y,u,dttKt00KtdtdtTd0Ht,y,u,KtdtdtTKT0K0第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释1）共态变量作为影子价格假设最优控制路径、状态路径、共态变量路径为：***ut,Kt,t***把最优路径值ut,Kt,t

4、代入目标泛函：TdΠ0Ht,y,u,KtdtdtTKT0K0得利润最大化函数（最优值函数）：**T****d***ΠHt,K,u,KtdtTKT0K00dt第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释1）共态变量作为影子价格对利润最大化函数**T****d***ΠHt,K,u,KtdtTKT0K00dt求关于初始资本和终结资本求微导数，得：**Π*Π*0,T*K

5、KT0*0表示：每单位初始资本对最优总利润的影响（一单位初始资本的价值或影子价格）*T表示：保留每单位终结资本对最优总利润的影响（一单位终结资本存量的影子价格）*t:该特殊时刻的资本影子价格第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释2）汉密尔顿函数和利润前景汉密尔顿函数：Ht,K,utft,K,ut,K,u：相应于决策u的当前利润dKft,K,u：相应于决策u的资本变化率dtt：影子价格tft,K,u：相应于决策u的资本价值变化率所以：汉密尔顿函数H=当前利润效应+未来利润效应

6、=决策决定的总利润前景第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释2）汉密尔顿函数和利润前景最大值原理要求关于u的最大化汉密尔顿函数：要求平衡当前利润的前景受益和未来利润的前景损失Hfft0tuuuuu*:决策u造成的当前利润边际增加量uf*t：决策u通过资本存量变化而引起的u未来利润边际损失量第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释3）运动方程的经济含义共态变量运动方程：dHfdfttdtKKKdt

7、KKd：影子价格随时间的下降速度（折旧率）dt：资本对当前利润的边际贡献Kf：资本对提高资本价格的边际贡献tK最大化原理要求：资本的影子价格贬值的速度等于资本对当前利润和未来利润的贡献速度第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释4）横截条件的经济含义垂直终结线（固定终结时间，自由终结状态）横截条件：T0表示：影子价格应该在终结时间T变为0（尽力在结束时刻用尽资本，发挥出资本的全部价值）第八讲最优控制理论的进一步讨论（一）最大值原理的经济学解释4）横截条件的经济含义截断垂直终结线规定终结资本的最低水平：

8、KTKmin横截条件：T0,