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1、第26卷第2期阜阳师范学院学报(自然科学版)Vol.26,No.22009年6月JournalofFuyangTeachersCollege(NaturalScience)Jun.2009贝塞尔方程通解的一个简明推求黄银生,倪致祥(阜阳师范学院物理与电子科学学院,安徽阜阳236041)摘要:利用朗斯基行列式和贝塞尔函数的近似公式给出了求贝塞尔方程通解的一个新方法.该方法简明直观且具有启发性,有助于培养学生的创新能力.关键词:贝塞尔方程;朗斯基行列式;通解中图分类号:O411文献标识码:A文章编号:1
2、004-4329(2009)02-0083-02Aconcisedmethodtosolvegeneralintegralofbessel′sequationHUANGYin-sheng,NIZhi-xiang(SchoolofPhysicsandElectronicsScience,FuyangTeachersCollege,FuyangAnhui236041,China)Abstract:AccordingtoWronskianandapproximateformulaofBessel'sfunc
3、tion.AnewmethodisgiventosolvegeneralintegralofBesselequation.themethodisconcisedandaccessibletostudents.Theinnovationabilitywillbetrainedalsointhisway.Keywords:bessel′sequation;wronskian;generalintegral.(1)0引言式中为非负实数,称为贝塞尔方程的阶.将在柱坐标下对数学物理方程进行分离变量,会(1)式
4、化为标准形式后,发现x0=0为正则奇点.出现贝塞尔方程.贝塞尔方程的通解由贝塞尔函数在正则奇点x0的邻域内,方程至少有一个解具有和诺伊曼函数的线性组合得到,贝塞尔函数可以通s[3]形式y(x)=(x-x0)f(x),其中f(x)在正则过广义幂级数方法求出,而在目前常见的数学物理奇点x0的邻域内解析.取x0=0为展开中心,就可方法教科书中,往往直接给出了诺伊曼函数的定以用广义幂级数方法来求出贝塞尔方程的一个特[1,2]义,而没有给出寻求过程.这样做虽然传授知识解,即贝塞尔函数,其形式为的效率比较高,但在
5、学习的过程中学生感到比较突∞n(-1)x+2nJ(x)=∑()然,难以理解为什么这样定义.作者在教学研究的n=0n!(+n+1)2过程中,发现了一种可以自然地求出贝塞尔方程通(2)解的简明方法,可以在传授知识的同时,培养大学称为阶贝塞尔函数.生的创新能力.由公式(2),可以推出上述幂级数的收敛半径为1贝塞尔方程的分析R=lim(n+1)(n++1))=∞n→∞贝塞尔方程的形式为(3)222xy″+xy′+(x-)y=0,06、04-30基金项目:安徽省精品课程和教育部高等学校特色专业建设项目.作者简介:黄银生(1978-),男,硕生,讲师.研究方向:量化计算.84阜阳师范学院学报(自然科学版)第26卷当自变量x→0时,由定义(2)可得下面的近似(10)表达式:令k=n-m,上式可以化为∞k+m1x(-1)xm+2kJ(x)≈()J-m(x)=∑()=(+1)2k=0(k+m)!(k+1)2m(4)(-1)Jm(x)=cosmJm(x)由于方程中只出现的平方,因此J(x)和(11)J-(x)都是贝塞尔方程的
7、解.如果它们线性无关,式(11)给出了两者之间线性依赖关系的具体则可以线性组合成通解.而两个解函数是否线性相形式.关,就看其朗斯基行列式2贝塞尔方程的通解J(x)J-(x)W[J(x),J-(x)]=J'(x)J-'(x)要构造一个在一般情况下都与J(x)线性无(5)关的独立解,我们取J(x)和J-(x)的一个适当是否为零.的线性组合,使得为自然数n时朗斯基行列式不我们对朗斯基行列式求导,得到等于零.该组合的一般形式为W′=J(x)J-″(x)-J″(x)J-(x)y=A
8、J(x)+BJ-(x)(6)(12)利用贝塞尔方程(1),上式可以简化为它与J(x)的朗斯基行列式为W′=-W/x(7)W[J(x),y(x)]=由此解出J(x)J-(x)-2sinB=B1CxW(x)=Ce-∫xdx=J'(x)J-'(x)x(13)(8)要保证在为整数时,朗斯基行列式不等于零,其中C为常数,由两个解的具体形式决定.必须有根据上式,两个解函数只要在求解范围内的某CB=,C≠0(14)一点邻域内线性独立,就在整个
