贝塞尔函数的性质.pdf

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1、贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质n1x2nJ(x)(1)()n!(n1)2一、递推公式n0dJx()J()x1()(1)dxxx2n证明:dJx()dn1x()[(1)]2ndxxdxn0n!(n1)22n1n2nx(1)2nn1n!(n1)22k1k12(k1)x(1)2k2k0(k1)!(k2)22k1(1)k1xJ1()x2k1.k0k!(k2

2、)2x第四章-贝塞尔函数的性质22n1x2n(n1)(n)(n)J(x)(1)()n!(n1)2n0d(xJx())xJ()(2)x1dx2n2ddn1x证明:(Jxx())[(1)2n]dxdxn0n!(n1)22n21n2(n)x(1)2nn0n!(n1)22n1n(n)xx(1)2n1n0n!(n1)22n1n1xx(1)2n

3、1xJ1(x)n0n!(n)2第四章-贝塞尔函数的性质3dJx()J1()xd(xJx())xJ()(2)x()(1)1dxxxdx由（1）和（2）式可得(等式左边展开)xJx()Jx()xJ()(3)x1Jx()xJx()xJ()(4)x1由（3）和（4）式相加减分别可得2J()xJ()xJx()(5)11xJ()xJ()x2()(6)Jx11第四章-贝塞尔函数的性质44注：从这些递推关系可以得到

4、Jx0()Jx1()(把0代入(3)即得)注：对所有正整数m,Jm(x)都可以用J0(x)和J1(x)(J0(x))线性表示。2由(5)式得J()xJx()J()x11x因此只需对J2(x)证明该结论即可。2Jx()Jx()Jx()210xxJx()Jx()xJ()(3)x12J()xJ()xJx()(5)11x第四章-贝塞尔函数的性质55贝塞尔函数常用递推公式：dJx()J1()x()(1)Jx()J()xdxxx0

5、1d(xJx())xJ()(2)x(xJx())xJx()110dxxJx()Jx()xJ()(3)x1nn(xJx())xJ()xnn1Jx()xJx()xJ()(4)x1nn(xJxn())xJn1()x2J()xJ()xJx()(5)11J()xJ()x2()Jxxn1n1nJ()xJ()x2()(6)Jx112nJ()xJ()xJx()n1n1nx贝塞尔函数递推公式的应用之一就是

6、计算贝塞尔函数的积分。主要用于被积函数为幂函数与贝塞尔函数的乘积的情形。第四章-贝塞尔函数的性质6J()xJ()x2()(6)JxxJxdx().11例求2d(xJx())xJ()(2)x1dx解：Jx()Jx()2(),Jxd201(xJx())xJx()10dxxJxdx()xJxdx()2xJxdx()201xJx()2(xJx()Jxdx())111xJx()2(xJx()Jxdx())110xJx()2Jx()c.10第

7、四章-贝塞尔函数的性质7诺伊曼函数也有与第一类贝塞尔函数相同的递推关系式，只不过将上述(1)—(6)中的Jx()v换成Nx()v第四章-贝塞尔函数的性质88二.半整数阶贝塞尔函数第一类和第二类贝塞尔函数都不是初等函数，但是半整数阶贝塞尔函数是初等函数，即若m是整数则时，J1()x和N1()x都是初等函数。mm221n1x2n证明：由于J()x(1)()21122n0n!(n)211x2nn2(1)()(2n1)!!2n0n!n21112n12n311(2n1)!

8、!(n)(n)(n)()n22222222第四章-贝塞尔函数的性质911x2nJ()xn21(1)()(2n1)!!22n0n!n22n2nx(1)xn0(2)!n2cosxx2cosxJ()x(7)1x22sinx同样可得J()x(8)12x第四章-贝塞尔函数的性质1010121J3(x)J1(x)J1(x)(cosxsinx)2x22xx23